Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Voorblad bij tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Numerieke Analyse van Continua : herkansing Vakcode: 8MC09 Datum: 8 Januari 206 Begintijd: 8.00 Eindtijd: 2.00 Aantal pagina s: 7 Aantal vragen: 0 Aantal te behalen punten/normering per vraag: 0 punten / vraag Wijze van vaststellen eindcijfer: totale aantal punten / 0 Wijze van beantwoording vragen: formulering, ordening, onderbouwing, multiple choice: Open vragen Inzage: op afspraak Overige opmerkingen: Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook x Rekenmachine x Grafische rekenmachine Dictaat/boek A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 5 minuten na aanvang en 5 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 Herkansing: Numerieke Analyse van Continua Maandag 8 Januari 206: u Code: 8MC09, BMT 3. Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit is een gesloten boek examen. Er mag een elektronische rekenmachine worden gebruikt. Het examen bestaat uit 0 vragen. Elke vraag levert bij een correct antwoord 0 punten op. Iedere vorm van draadloze communicatie is verboden. Vraag (0 punten) de volgende integraal is gegeven: I = x 2 x dx Bepaal numeriek een benaderingsoplossing van dit probleem waarbij je gebruik maakt van 2 punts Gauss integratie. Vraag 2 (0 punten) Een twee-dimensionaal element heeft 9 knopen op de posities zoals gegeven in de figuur. Bepaal de vormfuncties N i in globale coördinaten x en y behorende bij de knopen 2, 4 en 9.

3 Vraag 3 (0 punten) Op een bepaald domein wordt de oplossing van een stationair diffusie-probleem bepaald m.b.v. de eindige elementen methode. De coördinaten van de knooppunten en de topologie van de bijbehorende mesh worden gegeven door: coord = ; top = [ ] a) Schets de bijbehorende mesh en geef hierbij de knooppunt- en elementnummers aan. b) De eerste rij van de array pos wordt gegeven door [ ]. Verder is gegeven dat de lokale stijfheidsmatrix van het eerste element K gelijk is aan: K = K K2 K3 K4 K2 K22 K23 K24 K3 K32 K33 K34 K4 K42 K43 K44 Bepaal m.b.v. K en de gegeven eerste rij van pos op welke positie de elementen van K zich bevinden in de globale matrix K (Let op! Hier wordt de precieze positie van ieder element van de matrix K bedoeld) Vraag 4 (0 punten) Op het domein 0 x 2 geldt de volgende differentiaalvergelijking: ( ) α u t x ( ) β u + γ u x x x = 0 Met α, β en γ konstanten. Geef de zwakke formulering van bovenstaande vergelijking. 2

4 Vraag 5 (0 punten) Trans-epidermale medicijnafgifte (medicijnen toedienen via de huid) is sterk in opkomst. Een van de technieken die met name voor grotere moleculen wordt gebruikt is toediening met gecoate naalden. De ph-gevoelige laag op de micronaald bevat het medicijn en dat wordt losgelaten op het moment dat de naald in de huid wordt gedrukt. Door de geringe lengte en de scherpte van de punt van de naald gebeurt dit pijnloos. Om te analyseren hoe het medicijn vanaf de naald de huid in diffundeert wordt door een onderzoeker een Eindige Elementen Model gemaakt, waarmee de stationaire diffusievergelijking wordt opgelost. Vanwege symmetrie wordt slechts de helft van het probleem gemodelleerd. De figuur geeft de naald (a), een twee-dimensionale schematisering van de naald in de huid (b) en de userpoints, usercurves en subareas, waarmee de mesh is gemaakt. Op de rand van de naald - waar de coating zit - schrijven we een concentratie c = voor. Op de lijn y = 0 is de concentratie c = 0. Alle andere randen zijn ondoordringbaar. Binnen de invoerfiles voor het programma mlfem_nac worden essentiële randvoorwaarden aangegeven m.b.v. de regels: bndcon= [ ]; crv = ; dof = ; string= ; bndcon=addbndc(bndcon,coord,top,mat,usercurves,crv,dof,string,iplot); Welke regels moet u gebruiken in de invoerfile van mlfem_nac om in bovengenoemd probleem de juiste randvoorwaarden in te vullen. 3

5 Vraag 6 (0 punten) We willen de volgende gewone differentiaalvergelijking numeriek oplossen: 2 du dx u = x We gebruiken daarvoor een θ schema, met θ = 3 4. De afstand tussen twee punten op de gediscretizeerde x-as is: x = 2. Laat zien dat het volgende recursieve schema is af te leiden: u i+ = 5u i + 3x i+ + x i Waarbij: u i = u(x i ) Vraag 7 (0 punten) Onderstaand script beschrijft een een-dimensionaal element om de stationaire diffusievergelijking: ( d c du ) + f = 0 dx dx op te lossen. function [qe,rhse]=elemnum(coord,top,ielem,mat,itype) % function to calculate the stiffness matrix and right hand side vector at element level nlnodes=length(top(ielem,:))-; c=mat(top(ielem,nlnodes+)); f=mat(top(ielem,nlnodes+)+); alpha=mat(top(ielem,nlnodes+)+2); xe=coord(top(ielem,:nlnodes)); nint=2; Wi=[ ]; ksi=[-/sqrt(3) ; /sqrt(3)]; qe=zeros(3); rhse=zeros(3,); for i=:nint x=ksi(i); N=[0.5*(x-)*x (-x)*(+x) 0.5*(+x)*x]; dndksi=[x-0.5 ; -2*x ; x+0.5]; dxdksi= dndksi *xe ; dksidx=inv(dxdksi) ; qe=qe + ; %vul in rhse=rhse+ % vul in end end Vul de regels aan waarbij staat aangegeven vul in. Leidt daarvoor de gewogen residuen formulering van de stationaire diffusievergelijking af 4

6 Vraag 8 (0 punten) Beschouw het bilineaire isoparametrische element in een 2D xy-coördinatensysteem, met de volgende globale knooppuntscoördinaten: 0 0 x = 3 4 y = Bereken de coördinaten (x, y) van punt P waarvoor geldt (ξ, η) = ( 2, 2 ). Vraag 9 (0 punten) Op het domein 2 x 2 en 2 y 2 bestaande uit één bilineair element met knooppunten op (x, y) = (-2, -2), (x, y) = (2, -2), (x, y) = (2, 2) en (x, y) = (-2, 2), geldt de volgende 2D diffusievergelijking: (c u) + f = 0 Na discretisatie van de zwakke vorm vinden we de volgende zwakke vorm: ω (c u)dω = ωfdω + ω n c u dγ Ω De vormfuncties voor dit element zijn gegeven: 6 (2 x)(2 y) N = 6 (2 + x)(2 y) 6 (2 + x)(2 + y) (2 x)(2 + y) 6 Ω Γ Bereken de kolom die na discretisatie en uitwerking van de integratie overblijft van de bronterm f (m.a.w. werk de eerste integraal van het rechter lid uit voor dit element). 5

7 Vraag 0 (0 punten) Een eindige element mesh voor een twee-dimensionaal vaste stof probleem maakt gebruik van 4 driehoeks-elementen (zie figuur). De zwaartekracht wordt verwaarloosd. y x F F De bijbehorend dest-matrix (in MATLAB format) wordt gegeven door: dest=[7 8 ; 5 6 ; 2 ; 3 4 ; 9 0 ; 2] De verplaatsingen van de knopen, 4 en 6 worden in beide richtingen onderdrukt. Krachten met een grootte F werken in negatieve y-richting op de knopen 2 en 3. Na alle stappen die nodig zijn om tot een Eindige Element Methode oplossing te komen resteert een stelsel lineaire vergelijkingen van de vorm: Ku = f. Geef aan welke componenten van de kolom f onbekend zijn, welke nul zijn en welke ongelijk zijn aan nul. 6

8 Formules behorend bij NAC Peclet getal: P e = vl c met: v een karakteristieke snelheid, L een karakteristieke lengtemaat, c de diffusieconstante. Divergentietheorema: φ dω = Ω Ω φ dω = nφ dγ Γ n φ dγ Γ Productregel voor differentieren: (σ w) = ( σ) w + ( w) T : σ Dubbelinwendig product: A : B = tr(a B) = A ij B ji Een één-dimensionale set Lagrange polynomen op een element met domein ξ ξ ξ n wordt gedefinieerd als: l n a (ξ) = Πn b=,b a (ξ ξ b) Π n b=,b a (ξ a ξ b ) 7