Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Transcriptie

1 Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook Samenvatting Deze voorbeeldles komt uit het boek Venster op de hemel. Christelijk leraarschap in de lespraktijk. In dit boek wordt geprobeerd om leraren ertoe aan te zetten om vanuit de schoolvakken verbindingen te leggen met het christelijk geloof. Deze les is een wiskundeles die geschikt is voor de bovenbouw van het vwo. De les gaat over vijfvlakken aan de hand van Kepler. Bronvermelding Mackay, E. (2014 Apeldoorn) Venster op de hemel. Christelijk leraarschap in de lespraktijk. Thema * Inspiratiebronnen Gebruik ** Handen Plaatsingsdatum 2014 Gerelateerde artikelen n.v.t. Trefwoorden Voorbeeldles, venster op de hemel, voortgezet onderwijs, wiskunde * In het compendium wordt al het materiaal verdeeld over de acht thema s van christelijk leraarschap: onderwijs, inspiratiebronnen, leraar, leerling, leerstof, didactiek, schoolteam, leidinggevenden. ** Het materiaal kan gebruikt worden als onderbouwing en visievorming (hoofd), bezinning en reflectie (hart) of biedt concrete handreikingen en voorbeelden (handen).

2 2. Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek Ab van der Roest 1. Inleiding: Hoe Kepler naar de wereld keek, een lesidee voor wiskunde Ik ga een wiskundeles geven aan 5 vwo (wisd). Ik doe dit vandaag anders dan anders. Ik wil enkele inspiratiebronnen gebruiken die het uitgangspunt van deze les vormen. Binnen de christelijke geloofstraditie werd en wordt door velen gezegd dat we God mogen leren kennen uit Zijn woord en uit de natuur. Dit statement ontleen ik aan een boek van Van Berkel. Hierin wordt deze gedachte prachtig verwoord: Het begon met Augustinus. Het was deze kerkvader die voor het eerst de gedachte onder woorden bracht dat de wereld om ons heen een boek is waaruit we iets kunnen leren over God. Er zijn, zo legt hij in zijn commentaar op Psalm 45 uit, twee boeken waaruit men kan leren wat God wil. Aan de ene kant is er de Heilige Schrift, waaruit men het kan horen (de meeste mensen lazen de Bijbelboeken niet zelf, maar luisterden naar iemand die ze voorlas). Aan de andere kant is er de hele wereld (orbis terrarum), waarin iedereen het kan zien. In het eerste boek lezen alleen zij die de letters kennen, in de hele wereld leest ook elke ongeletterde bron: K. van Berkel, Citaten uit het boek der natuur, Amsterdam Zie Een venster_bw.indd :49

3 Daarnaast gaf Augustinus vorm aan een gedachte die al veel ouder was. In het Oude Testament komen verschillende passages voor die uitdrukking geven aan de idee dat de natuur een betekenis heeft en dus met andere betekenisdragers vergeleken kan worden. De natuur draagt als het ware tekenen in zich van God. Het is de kunst om door goed te kijken deze tekenen te verstaan. Deze twee bronnen vormen de inspiratiebron van deze les. We hopen op een totaal andere manier dan we vanuit het boek gewend zijn naar de wiskunde te gaan kijken. We richten ons vanuit deze bronnen op de geschiedenis van de wiskunde. Het wereldbeeld van Kepler 128 Een venster_bw.indd :49

4 2. Het wereldbeeld van Kepler Bovenstaande afbeelding heeft me, om verschillende redenen, altijd geboeid. Je ziet er de zogeheten platonische lichamen op. De tekening als geheel vormt het wereldbeeld van de natuurkundige Kepler. Wat zien we hier precies? Ik citeer Stafleu: Hij vroeg zich af waarom er precies zes planeten waren en waarom ze de door Copernicus gevonden baanstralen bezaten. In 1596 meende Kepler het antwoord gevonden te hebben: de structuur van het zonnestelsel wordt bepaald door de vijf regelmatige veelvlakken. In Plato s tijd was bewezen dat er precies vijf van zulke veelvlakken bestonden, met respectievelijk 4, 6, 8, 12 en 20 zijvlakken. Als deze nu zo in elkaar gepast worden dat de omgeschreven bol van het ene lichaam tevens de ingeschreven bol van het volgende lichaam vormt, kan men in en om de vijf lichamen zes bollen construeren. Als op elke bol een planeet wordt gedacht (met de zon in het centrum), verklaart dit volgens Kepler waarom er zes planeten zijn Vragen De lessenserie begint met het presenteren van bovenstaande afbeelding. Dit gaat gepaard met de vraag: Wat zie je? De halve bol, de kubus en de piramide worden snel herkend. Dan stopt het. Totdat ik de opdracht geef om ook de tekst eens te 54. bron: D. Stafleu, En toch beweegt zij: geschiedenis van de natuurkunde van Pythagoras tot Newton, Meppel Een venster_bw.indd :49

5 lezen. We richten ons op het planetarium en van daaruit kijken we naar de hemellichamen. Op dat moment gebeurt er iets. De platonische lichamen, die strikt wiskundig zijn, krijgen een extra betekenis. Voor Plato en Kepler hadden zij een bijzondere betekenis. Welke betekenis is dat? Deze vraag wordt een wezenlijk deel van de les. De leerlingen krijgen de opdracht om op internet op te zoeken welke betekenis Plato en Kepler aan deze lichamen gaven. Deze opdracht moeten de leerlingen uitvoeren voordat we de problematiek wiskundig gaan bespreken. Op deze manier bereik ik dat de lichamen een extra dimensie krijgen. De leerlingen gaan, naar ik hoop, ontdekken dat deze lichamen naast een wiskundige betekenis vanwege hun unieke karakter ook een diepere betekenis hebben. Een goede beschrijving staat bijvoorbeeld bij de site van een volkssterrenwacht. 55 Uiteraard vormt dit ook onderdeel van het reflectieverslag dat ze moeten maken. Kunnen we de natuur op deze manier beschrijven? De moderne mens doet dat niet, maar is het opmerkelijk dat de wetenschappers van toen het wel deden? Kunnen we in de wetenschap nog steeds ruimte maken voor God, die hemel en aarde geschapen heeft? Zijn er wetenschappers die nog steeds als gelovigen bekendstaan? Komt dit ook tot uiting in hun werk? Ik stel deze vragen en we praten erover door. Uiteindelijk komen we bij de meer wiskundige betekenis van de platonische lichamen. Er zijn precies vijf platonische lichamen. Dit is voor de leerlingen eenvoudig na te gaan, nadat we gedefinieerd hebben wat we verstaan onder een platonisch lichaam: Een platonisch lichaam is een regelmatig veelvlak waarvan de Een venster_bw.indd :49

6 zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Bovendien zijn alle hoeken tussen de vlakken onderling gelijk. We kennen de tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en de icosaëder. Nadat de leerlingen de veelvlakken getekend hebben, moeten ze uitleggen dat er precies vijf zijn. Een vijfvlak De leerlingen maken ook een overzicht van het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken. Hieraan koppel ik dan het begrip duale, het verwisselen van vlakken en hoekpunten, en de formule van Euler (H-R+V=2, dat wil zeggen, het aantal hoekpunten aantal ribben + aantal vlakken = 2). Een leuke opdracht is ook om de veelvlakken als regelmatige vlakke graaf te tekenen; de hoekpunten van het lichaam zijn de punten van de graaf en 131 Een venster_bw.indd :49

7 de ribben zijn de lijnen. In een vlakke graaf snijden de lijnen elkaar niet. Er ontstaan mooie tekeningen, zoals hiernaast. Naast deze opdracht krijgen de leerlingen de opdracht om de straal van de ingeschreven en de omgeschreven bol van de tetraëder, de kubus en de octaëder te bepalen. Wanneer deze overzichtelijk zijn weergegeven, moeten de onderlinge afstanden van de planeten opgezocht worden. Aan de hand hiervan kunnen de berekeningen van Kepler gecontroleerd worden. Dit is een lastig gedeelte. Leerlingen moeten doorsnedes tekenen, met vlakke meetkunde komen ze dan een heel eind. De controle op het idee van Kepler is dan het laatste deel van de opdracht. Het blijkt dat de foutmarge niet zo groot is. 4. Tot slot De leerlingen hebben vanuit oude bronnen, waarin de natuur werd gezien als boek der schepping en als betekenisdrager, kennisgemaakt met een hoofdstuk uit de geschiedenis van de fysica. Ze zijn onder de indruk geraakt van de wijze waarop Kepler heeft nagedacht over de schepping. De diepere kern van zijn model verwijst naar God als Schepper van deze werkelijkheid. De les gaf aanleiding tot nadenken over de verhouding tussen wetenschap en geloof. Kun je als belijdend christen en wetenschapper deze beide gebieden met elkaar verbinden of zijn zij niet te combineren? Ze maken kennis met het denken over het christelijke wereldbeeld en leren om hun eigen mening over de problematiek te geven. De leerlingen vinden het een goede opdracht. Ze waarderen het dat we op een totaal andere manier naar de wiskunde kijken en 132 Een venster_bw.indd :49

8 dat we de wiskunde kunnen toepassen op de klassieke manier van Kepler. Ook hebben ze veel waardering voor wat Kepler al kon. De geschiedenis komt tot leven. Meerdere vensters gaan open: niet alleen het venster van de geschiedenis van de wiskunde, maar ook het venster van de hemel. Beide gebieden hebben veel meer met elkaar te maken dan menig leerling en wetenschapper denkt! 133 Een venster_bw.indd :49