Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen

Transcriptie

1 a b Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen 4. Werken met steekproeven bladzijde 84 (a) de onderzoeker ondervraagt alleen mannen (b) hij ondervraagt slechts mensen die een winkelwagen hebben gepakt (c) hij doet zijn onderzoek maar bij één filiaal van de keten. Neem bijvoorbeeld eerst een aselecte steekproef van 5 filialen en ga bij elk van de filialen bij één van de kassa s staan en ondervraag steeds een klant en dan weer negen niet, enzovoort, totdat je er hebt ondervraagd. a De populatie bestaat uit alle leden van de partij. De steekproefgrootte is 4. b Je moet maar aannemen dat de steekproef representatief is omdat deze aselect is getrokken. c 748 van de 4 leden in de steekproef hebben te kennen gegeven tevreden te zijn over het nieuwe partijprogramma en misschien zijn er onder non-respondenten ook nog een aantal. In ieder geval is dat meer dan de helft van de steekproef. Het is wel waarschijnlijk dat ook voor de populatie geldt dat de meerderheid tevreden is, maar zeker is dat niet. d Je kunt heel weinig zeggen over de tevredenheid of waardering van alle Nederlanders omdat de steekproef niet aselect uit de populatie van alle Nederlanders is getrokken en dus niet representatief zal zijn. 3a b c d bladzijde 85 Juist de mensen die zich hebben overgegeven aan overmatig alcoholgebruik zullen vaak s ochtends niet opendoen. Misschien kan het onderzoek beter of ook worden gedaan in winkels, bij glasbakken en in cafés. Het rookgedrag van deze jongeren kan per regio verschillen. Beter is het om meerdere scholen en dan in verschillende regio s erbij te betrekken. Er zijn andere vakanties mogelijk dan die waarbij je per vliegtuig afreist. Een onderzoek bij reisbureaus betrekt er al meer vakanties bij. Nog beter is het misschien om vakantiegedrag bij allerlei vakantiebestemmingen te onderzoeken of gewoon op aselect gekozen adressen de bewoners een vragenlijst voor te houden. Bezoekers van een groot warenhuis zijn waarschijnlijk niet representatief voor de hele Nederlandse bevolking, bovendien zijn ze tijdens hun bezoek aan dat warenhuis niet in hun eigen woonomgeving. Bij aselect gekozen adressen aanbellen en de mensen bevragen in hun eigen woonomgeving is waarschijnlijk een stuk zinniger. 4 P(3% van de steekproef is roker) = P( R = ) = binompdf ( ;, 3; ), 9 5a P(twee zessen) = P( Z = ) = binompdf ( ; ; ), 9 b Het aantal zessen Z is nu Bin( 4; ) verdeeld. De verwachting van het aantal zessen is E(Z) = n p = 4 = 4 c P( Z < 5) = P( Z 4) = binomcdf ( 4; ; 4), 94 d Z is nu Bin( 3; ) verdeeld. P( Z 5) = P( Z 4) = binomcdf ( 3; ; 4),

2 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen a Het aantal meisjes X is nu Bin( 8; ) verdeeld. b P(meer jongens dan meisjes) = P( X 39) = binomcdf ( 8; ; 39), 4555 c P( X > ) = P( X ) = binomcdf ( 8; ; ), 4. Waar of niet waar? bladzijde 8 4 7a X is Bin( ; p) -verdeeld; in het geval de autofabrikant gelijk heeft is daarbij p =, 3 b E( X) = n p = p; in het geval de autofabrikant gelijk heeft is E( X) = p = 3 c In beide gevallen zou de bewering van de autofabrikant waar kunnen zijn. In ieder geval is er weinig aanleiding om aan de juistheid van die bewering te twijfelen. d In dit geval is er iets meer aanleiding om aan de juistheid van die bewering van de autofabrikant te twijfelen, dat de bewering onjuist zou zijn is hier een nogal boude uitspraak. 8a Dat klopt. Als de bewering juist is de kans op die gebeurtenis weliswaar klein, maar toch groter dan nul. b Als p =, 3 is P( X 5) = binomcdf ( ;, 3; 5), 3 (als p >, 3 is P( X 5) >, 3 ) c Als p =, 3 is P( X ) = binomcdf ( ;, 3; ),, (als p >, 3 nog kleiner); er is nu een erg sterke aanwijzing dat de autofabrikant ongelijk heeft. bladzijde 87 9a X is het aantal klanten in de steekproef dat uit omliggende plaatsen komt, : p, 44 ( p is de fractie klanten die omliggende plaatsen komt), H : p <, 44 b P ( X 5) = binomcdf ( ;, 44; 5), of nog kleiner ( als p >, 44 ) H c Vele werkende mensen uit de omwonende plaatsen komen op een doordeweekse dag misschien helemaal niet en prefereren het weekend voor een bezoek aan de bouwmarkt. d Zie onderdeel c. a X is het aantal blikken in de steekproef dat gevuld is met erwten die niet meer eetbaar zijn, : p, 4 ( p is de fractie van de blikken gevuld met erwten die niet meer eetbaar zijn), H : p >, 4 b P ( X 3) = P ( X 9) = binomcdf ( ;, 4; 9), 37; voor kleinere H H aantallen dan 3 zal deze kans nog groter zijn; lijkt niet voldoende aanleiding om aan bewering van de directie te twijfelen, de groothandelaar zal de partij afnemen. c De steekproef omvat slechts % van de totale partij, bijvoorbeeld nog lang geen 4%. d Ook al zijn alle blikken in de steekproef in orde, dan nog heeft de groothandelaar geen zekerheid. Immers de overige = 9 8 blikken kunnen dan nog niet orde zijn. Natuurlijk is de kans dat precies de blikken die niet in orde zijn in de steekproef terechtkomen, erg klein, deze kans is niet nul. e P ( X 34) = P ( X 33) = binomcdf ( ;, 4; 33), 3 H H 8

3 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen f P ( X 5) = P ( X 49) = binomcdf ( ;, 4; 49), ; het lijkt dus H H in deze situatie niet erg aannemelijk dat de directie gelijk heeft. 4.3 Toetsen op significantie bladzijde 88 a De hele populatie onderzoeken is veel te duur en maakt de mensen wellicht minder bereid te gaan stemmen (ze zijn dan al verkiezingsmoe). Verder levert een populatieonderzoek nauwelijks meer informatie dan de informatie die gehaald kan worden uit een aselecte en representatieve steekproef van kiezers. b : p =, 4; het aantal kiezers in de steekproef dat voor de oppositie zou stemmen noemen we bijvoorbeeld X. Deze stochast is Bin( ; p) verdeeld en als waar is is X Bin( ;, 4) verdeeld en E( X ) =, 4 = 4. c Als X = 398 is er weinig reden om de bewering van de oppositie in twijfel te trekken. Bij X = 3 wordt erg ongeloofwaardig. d Als waar is, is X Bin( ;, 4) verdeeld. e P ( X 398) = binomcdf ( ;, 4; 398), 43; P ( X 3) = binomcdf ( ;, 4; 3) 3 ; P ( X 37) = binomcdf ( ;, 4; 37), 8 a P ( X 384) = binomcdf ( ;, 4; 384), 585, b X 384 betekent: X X 384; op die manier is in te zien dat P ( X 38) < P ( X 384), en dus P ( X 38) <, H H H c x P ( X x),585,434,9,,38,9,83,78 x P ( X x),43,55,495,43,375,35,8 d Als X 374. e P ( X 33) = binomcdf ( ;, 4; 33), 9 <, f Bij de kans van, is het nog niet zo overtuigend dat onwaar zou zijn, bij de kans van, is het veel minder aannemelijker dat de oppositie gelijk heeft. 3 Dat hangt erg van de consequenties af van de verkeerde beslissingen. Ten onrechte handhaven kan ernstiger zijn dan ten onrechte verwerpen en andersom. 4a bladzijde 89 Deze waarde correspondeert met de minimum kwaliteitseis. 9

4 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen b In het algemeen is X Bin( 5, p) -verdeeld en is E( X) = 5 p en dus wijzen kleine waarden van X in de richting van H. De overschrijdingskans wordt dus hier P ( X 35) = binomcdf ( 5;, 9; 35), 7. Als H p=, 9 waar is, dan is de verwachting E( X) = 5p 45. Met 35 goede artikelen zit je daar flink onder en de overschrijdingskans is erg klein en ook daarin zit een sterke aanwijzing dat niet houdbaar is. c P ( X 44) = binomcdf ( 5;, 9; 44), 3839 en er is niet veel aanleiding om H p=, 9 te verwerpen. d P ( X 4) = binomcdf ( 5;, 9; 4), 579 >, 5 en er is nog steeds onvoldoende aanleiding om p=, 9 te verwerpen en het productieproces bij te stellen. e Je wilt dan de kans op het ten onrechte verwerpen van klein houden. 5 Het lijkt er misschien op dat Daniëlle en Merel eigenlijk dezelfde conclusie trekken. Toch is de formulering in de conclusie van Daniëlle iets beter omdat bij het toetsen op significantie alleen de kans op het ten onrechte verwerpen van in de gaten wordt gehouden en op de andere fout die je kunt maken in het geheel niet wordt gelet. 4.4 Binomiaal toetsen bladzijde 9 a : p munt =, H : p munt > b P ( X 89) = P ( X 88) = binomcdf ( 3; ; 88), 4 H H c Bij α =, 5 wordt verworpen omdat de overschrijdingskans kleiner is dan α. 7a X is Bin( 5, p) -verdeeld, waarbij p de fractie zakjes is met een te laag gewicht. b Hoogstens 4% komt overeen met : p, 4. De kans op te onrechte verwerpen van deze wil je controleren. c Deze H komt precies overeen met de ontkenning van en H alle gevallen waarbij erover moet worden nagedacht welke maatregelen moeten worden genomen. d P ( X ) = P ( X 5) = binomcdf ( 5;, 4; 5), 44 H H e Deze kans is groter dan,, X = is bij dit niveau dus niet significant en wordt niet verworpen. bladzijde 9 8 Bij X = 7 is de overschrijdingskans: P ( X 7) = P ( X ) = binomcdf ( 3;, 3; 5), 998 <, en dus is H H X = 7 hier significant evenals dat bij grotere aantallen te lichte zakken het geval is. 9a Er is alleen sprake van een zekere mate van aannemelijkheid dat er verband is tussen bloedgroep en maagkwaal en verder is ook nog niet duidelijk van welke aard dit verband dan zou zijn. 7

5 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen b : p =, 44, H : p >, 44, waarbij p A A A de fractie onder de lijders van de maagziekte die bloedgroep A heeft. Grote waarden van toetsingsgrootheid X wijzen in de richting van H dus moet je de rechter overschrijdingskans bij X = nemen: P ( X ) = P ( X 9) = binomcdf ( 38;, 44; 9), 7 <, 4 dus H H wordt verworpen. c Het is een methodologische doodzonde om de met bepaalde data te bepalen welke hypothesen je tegenover elkaar zet en daarna met dezelfde data ook nog eens de toets uit te voeren. Anders gezegd: De toetsingsfase moet onafhankelijk zijn van de fase waarin de hypothesevorming plaatsvindt. a Uit de tekst valt op te maken dat je moet nemen: H : p =, 5 H : p >, 5, waarbij p voor voor voor de fractie volwassenen is die voor een autovrije binnenstad is. Als toetsingsgrootheid wordt X genomen, dit is het aantal voorstanders in de steekproef. b Grote waarden van toetsingsgrootheid X wijzen in de richting van H dus moet je de rechter overschrijdingskans bij X = 4 nemen: P ( X 4) = P ( X 45) = binomcdf ( ;, 5; 45), 859. X = 4 is niet signicant bij alle zinnige significatieniveaus, iets dat je ook kunt vermoeden n.a.v. het percentage H H voorstanders in de steekproef (4%), dat in het geheel niet in de richting van H wijst. c De actiegroep heeft dezelfde hypothesen tegenover elkaar staan. De overschrijdingskans moet weer aan de rechterkant van de verdeling worden genomen: P ( X 9) = P ( X 8) = binomcdf ( 4;, 5; 8) <, 5, dus is H H X = 9 significant bij dit niveau en heeft de actiegroep alle reden om te beweren dat niet waar zal zijn. 4.5 Tweezijdig binomiaal toetsen bladzijde 9 a Als p (dus als H onwaar, dus H waar) dan kan zowel p > gelden als p <. En zowel (extreem) kleine als (extreem) kleine waarden van de binomiaal verdeelde toetsingsgrootheid wijzen in deze situatie is de richting van (een tak van) H. b H : p c X = 8 wijst in de richting van p < en dus neem je je als overschrijdingskans P H ( X 8). Je krijgt dan P X ( 8) = binomcdf ( 5; ; 8), 35. Verder H wijst X = 3 wijst in de richting van p > en je neemt hier als overschrijdingskans P H ( X 3). Je krijgt dan P X ( 3) = binomcdf ( 5; ; 3), 35. Dezelfde H uitkomst dus, iets wat ook valt te verklaren uit de symmetrie van de kansverdeling. d Je hanteert nu een significantieniveau van,38 bladzijde 93 a Je moet dus nu overschrijdingskansen vergelijken met α =, 5. Bekijk linker overschrijdingskansen. Je vindt dan P H ( X 4), 44 en P H ( X 4),. Je verwerpt H dus als X = 4 en ook bij nog lagere waarden. Bekijk vervolgens rechter overschrijdingskansen. Je vindt P H ( X 58), en P H ( X 59), 44. De grote waarden van X die tot verwerpen van aanleiding geven zijn X = 59 en nog grotere waarden. 7

6 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen b Je moet dus nu overschrijdingskansen vergelijken met α =, 5. Voor linker overschrijdingskansen geldt P H ( X 3), 33 en P H ( X 37),. Je verwerpt dus als X = 3 en ook bij nog lagere waarden. Bekijk vervolgens rechter overschrijdingskansen. Je vindt P H ( X 3), en P H ( X 4), 33. De grote waarden van X die bij α =, tot verwerpen van aanleiding geven zijn X = 4 en nog grotere waarden. 3a H : p = H : p waarin p PC 3 PC 3 PC de fractie gezinnen met een PC; toetsingsgrootheid X is het aantal gezinnen in de steekproef met een PC. Als waar dan is E( X ) =, dus is X = aan de hoge kant. We moeten dus nu een rechter overschrijdingskans nemen. P X ( ) = binomcdf ( 5; ; ), 9 > α =, 5 H 3 en X = is niet significant. b De steekproef is nogal klein en een klas niet representatief. De kans dat een kleine afwijking ten opzichte van p PC = op deze manier wordt ontdekt is tamelijk klein. 3 c De steekproef is te klein. 4a Zowel bij te veel als te weinig van stof B is er een probleem. Er is dus sprake van een tweezijdig toetsingsprobleem. b Er moet veel meer B zijn, dus dit is duidelijk fout. c % van (43+4) = 57 is ongeveer 3 korrels van stof A. d Toetsingsgrootheid is hier X, het aantal korrels van stof A in de steekproef van 57 korrels. Uitgaande van is X = 43 de hoge kant, dus moeten we een rechteroverschrijdingskans nemen. Dit is dan P X ( 43) = binomcdf ( 57;, ; 4), 58 < α =, 5 dus X = 43 is inderdaad significant bij deze α. H e Nu is in de steekproef het percentage korrels van stof A gelijk aan 7 % 3, 4%, dus lager dan je uitgaande van H ( 7 + ) zou verwachten. In dit geval moeten we dus een linker overschrijdingskans nemen. Dit is P X ( 7) = binomcdf ( 7;, ; 7), 353 > α =, 5. X = 7 is dus niet significant bij deze α. H f P ( X g) <, 5 Binomcdf ( ;, ; g) <, 5. Dit invoeren als Y in de rekenmachine. Met table vind je g = 5. Op dezelfde wijze geeft P ( X g) <, 5 Binomcdf ( ;, ; g ) <, 5 g = 34. Dus A 33 en 87 B De toets voor het gemiddelde bladzijde 94 5a Er staat niet of een testscore groter dan 8 beter of slechter is. Dus moet hier tweezijdig worden getoetst. b Een testscore van 9 wijst in de richting van µ > 8 en dus moet je hier een rechteroverschrijdingskans nemen. P ( X 9) = P ( X* 89, 5) = normalcdf ( 89, 5; ^ 99; 8; 4), 34 >, 5 = α H H en dus de testscore van 9 hier niet significant. 7

7 a Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen c Dan wordt H : µ > 8 en moet er eenzijdig worden getoetst. De overschrijdingskans is nog steeds P H ( X 9), 34. Nu moet deze kans worden vergeleken met α =, 5 in plaats van met α =, 5 en is X = 9 in deze toetsingssituatie dus wel significant. b bladzijde 95 Het effect van het toelaten van de wandelaars is hoogstens dat het aantal nesten per m wat naar beneden zal gaan. De alternatieve hypothese zal dus luiden: H : µ < 4, 3 en er zal eenzijdig moeten worden getoetst. Negen nesten op een stuk terrein van m wijst in de richting van H en de overschrijdingskans ligt aan de linkerkant van de kansverdeling. Je krijgt P ( X 9) = P ( X 9, 5) = normalcdf ( ^ 99; 9, 5; 4, 3; 4), 9 > α =, en H H X = 9 is dus niet significant. 7a Het gemiddelde G is Norm( µ ; ) = Norm( µ ; ) -verdeeld. 4 b H : µ 4, H : µ < 4 zijn de hypothesen die tegenover elkaar staan, het gemiddelde G is de toetsingsgrootheid. c Kleine waarden van G wijzen in de richting van H en de overschrijdingskans is dus P ( X, ) = normalcdf ( ^ 99;, ; 4; ), 4 < α =, en G =, is H dus significant en er zal moeten worden gecorrigeerd. 8a P( G > 75 N( 74; ) =, 3 5 b P ( G < 75, ) = normalcdf ( ^ 99; 75; 7;, ) =, 3. c Nu is G N( µ ; ) n -verdeeld. P ( G > 75, ) = normalcdf ( 75; ^ 99; 74; ) <,. Voer nu in je GR in H n Y = normalcdf( 75; ^ 99; 74; ). Via TABLE vind je dat deze grootheid voor X het eerst <, is als n = 95 : P ( G > 75, ), 997. H In dat geval is ook de kans op de andere fout gelijk aan P ( G < 75, ) = normalcdf ( ^ 99; 75; 7; ) =, Toetsen met VU Statistiek bladzijde 9 9a H : p <, 4; de toets is immers linkszijdig. b Dat is in dit geval het aantal jongens onder de 7 borelingen. c Het rode gedeelte geeft de overschrijdingskans aan. d In alle gevallen X = x met x wordt verworpen. De grootte van de overschrijdingskansen en de conclusie die je bij verschillende X = x moet trekken kun je steeds onder de figuur aflezen. 73

8 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen e Nu is de alternatieve hypothese H : p >, 4 en wordt H verworpen in alle gevallen X = x met x 37. f De alternatieve hypothese is nu H : p, 4. g Nu wordt verworpen in alle gevallen X = x met x 9 of x 38. 3a Bij de linkszijdige toets ( H : p <, 3 ) wordt H verworpen in alle gevallen X = x met x 5. Bij de rechtszijdige toets ( H : p >, 3 ) wordt H verworpen in alle gevallen X = x met x 3 b Zowel bij de linkszijdige als de rechtszijdige toets omvat het kritieke gebied precies die waarden die leiden tot verwerping van. Het verband tussen kritieke gebied en α is dat P ( X in kritieke gebied) α en zo dicht mogelijk daar tegen aan. H c Bij X = x met x 4 of x 33 bladzijde 97 3a Je weet niet of er met de dobbelsteen teveel of juist te weing zes gegooid wordt b Het kritieke gebied is X X 3. c wordt verworpen. d n e f g h H : p = verwerpen vanaf k = Het is niet een perfect lineair verband, maar de eerste 4 punten worden redelijk beschreven door de vergelijking k =, n + 5 Voor n < krijg je waarde van k achtereenvolgens:, -, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 niet erg bruikbaar. Omdat daarin meer informatie zit. Hieronder is via de ononderbroken grafiek k uitgezet tegen n. De gestippelde grafiek n brengt het verloop van de k -waarden beeld voor de linker overschrijdingskansen Je ziet dat als de steekproefgrootte ntoeneemt ook dicht bij liggende waarden van k n kunnen leiden tot verwerpen van H : p =. Je kunt dus betrouwbaarder uitspraken doen over het al dan niet waar zijn van. 3a Als X = 5 dan wordt verworpen. b Klik op Uitgewerkte conclusie en je vindt dat het kritieke gebied ; 7, 4 is en dus is X = 7, 4 de grootste waarde die nog aanleiding geeft om de nulhypothese te verwerpen. Omdat X alleen gehele waarden aanneemt moet het antwoord dus luiden X = 7. c Als n 8 wordt is X = 5 bij deze α niet meer significant. 74

9 4.8 Gemengde opdrachten bladzijde 98 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen 33a H : p =, H : p, waarbij p de kans is op een zes en X is het aantal zessen dat verschijnt bij keer werpen. Het gaat hier dus om een tweezijdige toets. b X = is een aantal dat minder is dan verwacht kan worden als waar is. De overschrijdingskans is dus P X ( ) = binomcdf ( ; ; ), 47 > α =, 5 en H wordt niet verworpen. c X = is een aantal dat meer is dan verwacht kan worden als waar is. De overschrijdingskans is nu P X ( ) = binomcdf ( ; ; 9), 97 > α =, 5 H en wordt ook hier niet verworpen. 34a Uitgaande van een symmetrische verdeling ligt 5% voor en 5% na het gemiddelde. b Omdat het idee is dat alcoholgebruik eventueel verandering van rijgedrag veroorzaakt, in welke zin wordt niet gezegd. Dus H : p =, H : p, waarbij p de kans is dat een proefpersoon gemiddeld sneller rijdt dan 8,3 km/uur. De toetsingsgrootheid is X, het aantal proefpersonen dat gemiddeld harder rijdt dan 8,3 km/uur. Onder is E( X ) = 5, dus is X = 4 aan de lage kant en is de overschrijdingskans P X ( 4) = binomcdf (,, 4), 4 > α =, 5 en H H wordt niet verworpen. c H : µ = 8, 3 H : µ > 8, 3 en α =, 5. P( µ > 83, ) = normalcdf ( 83, ; ^ 99; 8, 3; 3, 8) =, 4 > α. wordt niet verworpen. 35a T = T + T T. De tijd die de huisarts nodig heeft voor een patiënt is onafhankelijk van de tijd die hij voor een andere patiënt nodig heeft, en dus is σ( T) = σ ( T ) + σ ( T ) σ ( T ) = 3, 98 b H : µ =, H : µ >. De overschrijdingskans is T T P ( T 54) = normalcdf ( 54; ^ 99; ; 3, 98), 47 < α =, 5 en dus wordt H verworpen en is het tijd om de veronderstelde tijd van minuten per patiënt te verhogen. bladzijde 99 b 3a Het totaal aantal bijzienden is % van 5 = 4. Het aantal bijzienden onder de onderzochten met een IQ 8 is 7, 3% van = 4 = 7 en dus het percentage onderzochten met een IQ 8 onder de bijzienden is 7 % =, 9%. 4 Voor een aselect getrokken proefpersoon zou gelden P( IQ 8) = normalcdf ( 7, 5; ^ 99; ; ), 48 en dus is de verwachting n p = 5 P( IQ 8) 5, 48 = 4, dit is dus 3 meer dan is geobserveerd. c H : p =, ; H : p >,, waarbij p de fractie van de populatie is dat bijziend is. Als toetsingsgrootheid kan worden genomen B, het aantal bijzienden onder de onderzochten met hoog IQ. Zoals berekend is bij onderdeel a, is B = 7. Grote waarden van B wijzen in de richting van H, dus is de overschrijdingskans P B ( 7) = binomcdf ( ;, ; ), < α =,. Het antwoord op H de vraag is luidt dus bevestigend. 75

10 Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen Test jezelf bladzijde T- Veel mensen die op maandag werken zullen niet worden bereikt evenals mensen die geen telefoon hebben of een geheim telefoonnummer. T-a X is Bin( ; p) -verdeeld, waarbij p de fractie klanten is dat liefhebber is van witbrood. 4 4 b H : p =, H : p < 5 5 c Er is dan zeker geen gebrek aan bruinbrood. 4 d Onder de veronderstelling van is P( X ) = binomcdf (,, ), T-3a H : p,, H : p >,, waarbij p de fractie door de fabrikant geleverde producten dat ondeugdelijk is. b De consument krijgt dan gelijk. c Het aantal ondeugdelijke exemplaren is Bin( ;, ) verdeeld onder. Dus is overschrijdingskans P( X 8) = binomcdf (,,, 7), 57 d Welk significantieniveau er ook wordt gebruikt, X = 8 zal niet leiden tot verwerping van. e Als X = 9 is de overschrijdingskans P( X 9) = binomcdf (,,, 8), 43, Zowel bij α =, 5 als bij α =, leidt nog niet tot verwerping van. bladzijde 3 T-4a H : p =,, H : p >,, waarbij p de fractie afgekeurde golfballen is b Als A het aantal afgekeurde ballen is uit de steekproef van 4, dan is A Bin( 4;, ) -verdeeld onder. Verder wijzen grote waarden van A in de richting van H. Hier is A = 3. De overschrijdingskans is dan P ( X 3) = binomcdf ( 4;, ; ), < α =, 5 en er is voldoende reden om te verwerpen en actie te ondernemen. c Nu is A = 8 en de overschrijdingskans is P ( A 8) = binomcdf ( 4;, ; 7), 3 > α =, 5 en er is geen reden om actie te ondernemen. T-5a H : p =, H : p, waarbij p de fractie is van de Nederlandse bevolking dat in mei jarig is. b Je moet hier tweezijdig toetsen. Laat M, het aantal mensen in de steekproef zijn dat in mei jarig is, de toetsingsgrootheid zijn. M = is meer dan onder te verwachten en dus is de overschrijdingskans P ( M ) = binomcdf ( 8; ; ), 78 > α =, 5 en er is onvoldoende reden om aan de nulhypothese te twijfelen. c M = is minder dan onder te verwachten en dus is de overschrijdingskans P ( M ) = binomcdf ( 8; ; ), 3 < α =, 5 en nu is er is wel voldoende reden om aan de nulhypothese te twijfelen. 7 5

11 d Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 4 Hypothese toetsen De linker overschrijdingskansen krijg je door in je GR in te voeren Y = binomcdf( 4; ; X). Met TABLE vind je dan De rechter overschrijdingskansen krijg je door in je GR in te voeren Y = binomcdf( 4; ; X ). Met TABLE vind je dan Aan de nulhypothese wordt niet getwijfeld als de overschrijdingskans groter is dan α =, 5. Dat geldt dus voor 7 M 7. T-a H : µ = 8, ; H : µ > 8, waarbij µ de gemiddelde lichaamslengte is van de 8 jarige dienstplichtige soldaten uit 977. De toetsingsgrootheid is X, de gemiddelde lichaamslengte van de dienstplichtigen in de aselecte steekproef. Onder, is X Norm( 8, ; 7 ) = Norm( 8, ;, 8) verdeeld. b Grote waarden van X wijzen in de richting van H en dus de overschrijdingskans bij X = 8, is gelijk aan P H ( X 8, ) = normalcdf ( 8, ; ^ 99; 8, ;, 8), 84 >, 4 = α en dus luidt het antwoord op de vraag ontkennend., c Onder is X nu Norm( 8, ; 7 ) n verdeeld. Voer nu in je GR voor de overschrijdingskans bij X = 8, in Y , = normalcdf(, ; ^ ;, ; ). Met TABLE vind je X Bij α =, 4 is het resultaat X = 8, dus pas significant als n. 77