Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Transcriptie

1 Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL

2 Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband ( 3)

3 1 (Recht) Evenredig 2 1,5 4/3 0 x y ,5 4/3 0 Als je de x met een factor vermenigvuldigd, vermenigvuldig je y met dezelfde factor. De grafiek gaat door de oorsprong. Formule: y = a x, met a > 0. a kan je berekenen met a= y/ x. a kan je berekenen door een punt in te vullen. (werkt niet bij lineair!) Grafiek: rechte lijn door oorsprong.

4 1 Omgekeerd Evenredig 2 1,5 4/3 0 x y ,5 4/3 0 Als je de x met een factor vermenigvuldigd, deel je y met dezelfde factor. De grafiek heeft asymptoten op y=0 en x=0. x y = constant. (Hier: x y = 60) Formule: y = a / x, met a > 0. a kan je berekenen met a=x y. Grafiek: een hyperbool met asymptoten door de oorsprong.

5 _ 2 Hyperbolisch Verband a Heeft de formule: y = (x-c) + b Wordt verkregen door de hyperbool uit een omgekeerd evenredig te transleren met (c, b). De asymptoten transleren mee, dus x = c en y = b. Getal & Ruimte beschouwt alleen een verschuiving naar boven, m.a.w.: y= a/x + b. Er zit een asymptoot op x = 0 en y = b. Hoe bepaal je de positie van de twee asymptoten? 60 Grafiek in afbeelding: y = x Asymptoten op x = 0 en y = 40.

6 3 Machtsverband Heeft de (machts)formule: y = a xn Als P = a Q voor zekere a > 0, dan zeggen we dat P evenredig met Q is. Voorbeeld: 2x is recht evenredig met 4x. Als P = a / Q voor zekere a > 0, dan zeggen we dat P omgekeerd evenredig is met Q. Voorbeeld: 2x is omgekeerd evenredig met 1/x. Weet wanneer y omgekeerd- of recht evenredig is met xn. Weet hoe je dit ook kan aantonen! (Boek 2: Pag 91 & 92)

7 Boek 1: H4. Statistiek 1 Frequentietabellen 2 Klassen en Cumulatieve Frequentiepolygoon. 3 Soorten Diagrammen 4 Centrummaten, Boxplot & Deviatie 5 Steekproef

8 1. Frequentietabellen Soorten gegevens: Kwanitatief: In een getal uit te drukken. (gewicht, aantallen, ) Kwalitatief: Over een bepaald kenmerk. (geslacht, favoriete kleur, ) Frequentie: Hoe vaak iets voor komt. Als er 50 peren op een dag verkocht worden, is de frequentie 50. Totale frequentie: alle frequenties die je beschouwd bij elkaar opgeteld. Soorten frequenties: Absolute frequenties: Een getal. frequentie Relatieve frequenties: Altijd in procenten. (= 100%). totale frequentie soort peer druif appel bes freq r.freq. 42,9% 25% 14,3% 17,9% Totale frequentie = 28

9 2. Klassen en Cumulatieve Frequentie Dicht bij elkaar liggende metingen kan je samennemen in zogenaamde klassen. Bij onderzoeken is het gebruikelijk tussen de 5 en 10 klassen te nemen. Klassen zijn altijd even breed. Van de klassen geven de klassengrenzen aan. Het verschil tussen twee opeenvolgende klassengrenzen noemen we de klassenbreedte. Gewicht (g) Frequentie 0 -<50 III <100 IIII <150 II <200 III <250 I 1 De klassenbreedte van de figuur hiernaast is 50 gram. Een product van 100 gram hoort in de klasse 100-<150, en niet in de klasse 50-<100. De tabel hiernaast waarin klassen naast de frequentie staan, noemen we ook wel de frequentieverdeling.

10 1,2. Weergave kwalitatieve gegevens Kwalitatieve gegevens kan je weergeven met een frequentietabel (zie eerder) Verder kan het via een staafdiagram of cirkeldiagram. Staafdiagram Cirkeldiagram Bij kwalitatief: Staven los. Zet eronder wat een staaf inhoud Werkt ook bij relatieve frequenties (dus in procenten) Fiets Bus Priveheli Lopend Wordt ook wel sectordiagram genoemd. (De figuur hierboven heeft vier sectoren.) Bereken altijd de hoek: º= 72º voor bus. Zelfde voor overige hoeken. Meet hoeken met geo af tijdens tekenen. Zorg voor een goede legenda. (kleurpotloden in etui.) 2.

11 1. Weergave kwantitatieve gegevens Kwalitatieve gegevens kan je weergeven met een frequentietabel (zie eerder) Verder kan het via een histogram of frequentiepolygoon. Hieronder beschouwen we alleen klassen. (Werkt ook voor klassenbreedte 1 ;-) ) Histogram Staven aan elkaar. Benoem de assen. Werkt ook bij relatieve frequenties (dus in procenten) Frequentiepolygoon Verbindingsstukken met liniaal. Punten bij klassenmiddens zetten. (Bij cumulatieve frequentiepolygoon rechtergrens nemen! Zie verder). Goede beschrijving bij de assen.

12 2. Weergave kwantitatieve gegevens Kwalitatieve gegevens kan je weergeven met een frequentietabel (zie eerder) Verder kan het via een histogram of frequentiepolygoon. Hieronder beschouwen we alleen klassen. (Werkt ook voor klassenbreedte 1 ;-) ) Steel-bladdiagram Hoeveelheid zakgeld in euros per week van een klas van 27 personen: {6, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 18, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28} Dubbel Steel-bladdiagram Leeftijd eerste jaar van inschrijving. {18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 22, 23, 23, 23, 25, 25, 26, } Bij de steel de tientallen. Bij het blad de eenheden. Wanneer je dezelfde meting van twee aparte verzamelingen wil weergeven. Kleinste waardes aan steelkant.

13 3. Weergave gegevens Twee andere wijze van weergave. Beelddiagram Aantallen of procenten geef je met tekeningen aan. Geef altijd weer wat één tekening betekend. Stapeldiagram Combinatie van kwalitatieve en kwantitatieve gegevens. Je kan aflezen dat 77%-51%=26% van de huishoudens in 1980 uit tweeverdieners bestaat.

14 3. Samenvatting weergaves. (Relatieve) frequentietabel Frequentiepolygoon (lijndiagram) Staafdiagram Histogram Cirkeldiagram (Dubbel) steel-bladdiagram Beelddiagram Stapeldiagram Komt nog Boxplot

15 3. Cumulativeit. Cumulatief = Al het voorgaande erbij opgeteld. De cumulatieve frequentie van de laatste klasse is gelijk aan het totaal. Bij relatieve cumulatieve frequentie eindig je altijd bij 100%. Een cumulatieve frequentiepolygoon is altijd stijgend. Een relatief cumulatief frequentiepolygoon heeft zijn maximum op 100%. Bij tekenen van een (cumulatieve) frequentiepolygoon altijd de rechter grens van de klasse nemen!

16 Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Aanbevolen Opgaven Boek 2, H7. Blz 143) 21, 22, 23, 25, 27, 29(examen) Boek 1, H4 Blz 158) 31, 32, 33, (36, 38).

17 4. Centrummaten. Als je een verzameling van getallen hebt, wil je soms een getal kiezen die de hele verzameling representeert. Zo n getal noemen we een centrummaat. We bekijken drie centrummaten: Gemiddelde: Alles bij elkaar opgeteld delen door het aantal getallen. Modus: Het getal dat het meeste voorkomt. Mediaan: Als de getallen gesorteerd zijn van klein naar groot, het middelste getal. Bij even aantal: Gemiddelde van de twee middelste getallen. Voorbeeldje toevoegen. Gemiddelde klassenmiddens & Modale klasse

18 4. Boxplot. Weergavemanier waarin je kan aflezen: Kleinste waarde Grootste waarde Mediaan Eerste en derde kwartiel Eerste kwartiel Q1: mediaan van linkerhelft van de gesorteerde verzameling Derde kwartiel Q3: mediaan van de rechter helft van de gesorteerde verzameling. {10, 16, 20 Q1, 23, 24, 25, 25, 36, 46, 55 Q3, 60, 70}

19 4. Boxplot. Spreidingsmaten: Spreidingsbreedte = maximum minimum Kwartielafstand = Q3 Q1 Je moet via de GR ook minimum, Q1, mediaan, Q3 en maximum kunnen opvragen!

20 4. Deviaties. De afwijking van het gemiddelde heet de deviatie. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} VB: De deviatie behorende bij de 2 is hier -3, want gemiddelde is 5. De standaardafwijking is de wortel van het gemiddelde van alle deviaties in het kwadraat. Hier: De standaardafwijking kan je ook door je GR laten berekenen. Weet hoe. De standaardafwijking is de meest gebruikte spreidingsmaat!

21 4. Steekproeven. Als je van een bepaalde groep mensen (de populatie) iets wil weten, is het te veel werk om iedereen te interviewen. Je ondervraagt een aantal mensen (de steekproef). Je moet wel zorgen dat de steekproef representatief is! Dingen die hierbij kunnen helpen: Steekproef voldoende groot nemen. Aselect nemen. (Iedereen even veel kans om in de steekproef te komen) Gelote steekproef (geef iedereen een nummer en gebruik randomizer) Gelaagde steekproef. (Onderverdelen in deelpopulaties) Systematische steekproef. (Trek een willekeurig nummer, en neem alle elementen die een veelvoud van x verschillen.)

22 Boek 2: H8. Normale verdeling De vuistregels ( 1) Bepalen van oppervlaktes ( 2) Bepalen van grenzen (l en r) ( 2) Bepalen van µ en σ. ( 2)

23 1. Ontstaan & Vuistregels. Ontstaan van normale verdeling: Veel grote aantallen. Heel veel klassen. Vuistregels Bepaalde oppervlaktes. σ-afwijking bij buigpunt.

24 2. Probleemtypes. Bij normale verdeling opgaves spelen een rol: linkergrens: l rechtergrens: r gemiddelde: µ standaardafwijking: σ Bepaald oppervlakte tussen l en r: Opp In al dit soort problemen worden 4 van de 5 gegeven, en moet je de laatste berekenen. Ga eens na? Hint: minder dan 10 gram geeft informatie over l en r.

25 2. Opp en grenzen bepalen. Oppervlakte bepalen: Opp = normalcdf(l, r, µ, σ) Grenzen bepalen. Gebruik dat invnorm(opp, µ, σ) geeft de waarde a geeft, waarvoor de oppervlakte links van a gelijk is aan Opp. Oppervlaktes kan je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Dit heb je nodig als l -10^99. (Zie plaatjes bladzijde 109 onderaan)

26 2. µ of σ bepalen. µ Bepalen: y1=normalcdf(l, r, x, σ) y2=opp [Calc] Intersect geeft x, en dus µ. σ Bepalen: y1=normalcdf(l, r, µ, x) y2=opp [Calc] Intersect geeft x, en dus σ.

27 Samenvattingen 5HAVO Boek 1, H4. Blz nr) nr1, nr2, Wiskunde A. Aanbevolen Opgaven Boek 2, H8 Blz nr) nr1, nr2, Download: