RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want"

Timo ten Wolde
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de overzichtsoefeningen. Controleer telkens je oplossing aan de hand van de oplossingen vooraan. RECHTEN. Vul in met of. co(a) = (-,3) a y = - + A a want 3 -.(-)+3 co(a) = (4,) a 3-5y - = 0 A a want co(a) =, 3 a 4 + 6y -4 = o A a want = 0 3 Dit geldt ook voor andere figuren, bijvoorbeeld voor een parabool. co(a) = (,-) p y = ² A p want - ² Geef onmiddellijk een vergelijking voor elk van deze rechten. (Tip: contoleer eerst of de rechte evenwijdig is met een van de assen, want dan is de vergelijking = p voor een rechte evenwijdig met de y-as, en y = q voor een rechte evenwijdig met de -as. Indien de rechte niet evenwijdig is met een van de assen, zoek je de richtingscoëfficiënt m en het stuk op de y-as p, en vul je die getallen op de juiste plaats in in de vergelijking y = m + q) a y = (evenwijdig met -as!) b y = + 3 (richtingscoëfficiënt is, en stuk op de y-as is 3) c y = (richtingscoëfficiënt is -, want het is een dalende rechte, en het stuk op de y- as is 4) d y = 4 3 (richtingscoëfficiënt is 4, want 4 naar rechts is omhoog, dus naar rechts is ¼ omhoog. Het stuk op de y-as is -3,) y = 0 (Alle punten op de -as hebben 0 als y-coördinaat!) y = 0

2 3. Teken onmiddellijk de rechten met de gegeven vergelijking. a y = b = - c y = - d y = 3-4 e y = 5 4. Zoek de coördinaat van 3 punten op deze rechte, en teken dan de rechte a 3 y + = 0 Coördinaat van 3 punten: A(,) B(3,5) C(5,8) D(7,) E(-,-) F(-3,-4) G(, 7 ) 3 H(4, ) enz.

3 5. a) Bepaal de richtingscoëfficiënt en het stuk op de y-as bij elk van volgende rechten. a y = m = -5 q = 6 b 3 + 6y -5 = 0 m = a 3 5 q = b 6 6 c y + 3 = 0 m = a q = b 3 b) Bepaal de richtingscoëfficiënt van de rechte door A(,5) en B(7,6) m = y y = = 5 6. Stel een vergelijking op voor elk van volgende rechten. a) De rechte a met m = 4 en q = -5 a y = 4 5 (m en q zijn gegeven, dus gebruik je de formule y =m + q) b) De rechte door A(-,) met richtingscoëfficiënt b y - y = m( ) y = (+) y = + y = + + y = + 5 of y = + 5 y + 5 = 0 (van de vorm y=m+q) (beide leden maal, om de noemers weg te werken) (van de andere vorm: a+by+c=0) c) De rechte door de punten A(4,-) en B(3,5) y y c y-y = (- ) y+ = y+ = 5 (-4) (-4) y+ = -7(-4) y+ = -7+8 y = of 7 + y - 6= 0 (van de vorm y=m+q) (van de vorm: a+by+c=0)

4 3 d) De rechte evenwijdig met de -as door A, 3 4 d 3 y = (Rechte evenwijdig met heeft altijd als vergelijking y = q. 4 De y-coördinaat is voor alle punten op deze rechte dezelfde, en dus gelijk aan 4 3. e) De rechte door de punten A(7,5) en B(4,-) y y c y-y = (- ) y-5 = y-5 = 5 (-7) (-7) 3 y-5 = 3 7 (-7) 7 49 y-5 = y = of 3y = y + 64 = 0 (van de vorm y=m+q) (van de vorm: a+by+c=0)

5 MIDDEN VAN EEN LIJNSTUK 7. Bepaal het midden van het lijnstuk [AB] met: a) A(9,5) en B(-3,7) co(m) = y y, =, = (3,) b) A(6, ) en B(3,0) co(m) = y y, = 6 3, AFSTAND TUSSEN TWEE PUNTEN 0 3 =, 4 8. Bepaal de afstand AB met: a) A(,3) en B(6,6) AB = y y b) A(-,3) en B(5,-) AB = y y = = = 5 3 = 4 3 = 5 = 5 6 ( 5) = 6

6 SNIJPUNT VAN TWEE RECHTEN 9. Bepaal het snijpunt van deze rechten: 5y y 5 0 De makkelijkste methode is hier de combinatiemethode, want anders moet je met breuken gaan werken, en dat is altijd lastiger. 5y y y 0 4 6y y 9 0 5y 3 0 9y 9 5y 3 0 y y 8 0 y 8 y 4 Antwoord: het snijpunt heeft als coördinaat: (4,) (Let op de volgorde, eerst de -coördinaat)

7 ALLES DOOR ELKAAR 0. De hoekpunten van ABC hebben volgende coördinaten: A(3,); B(6,4) en C(-,6). a) Bepaal een vergelijking voor elk van de drie zwaartelijnen van deze driehoek. Bepaal eerst de middens van de drie zijden: y y co(m [AB] ) =, =, =,3 y y 3 6 co(m [AC] ) =, =, =,4 y y co(m [BC] ) =, =, =,5 Nu bepaal je de vergelijkingen (Je kent van de gevraagde rechten punten: een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.) De zwaartelijn uit A gaat door De zwaartelijn uit B gaat door De zwaartelijn uit A gaat door 5 B(6,4) en M [AC] (,4): 9 A(3,) en M [BC],5 : C(-,6) en M [AB],3 : Deze twee punten hebben beide dezelfde y-waarde. De y y y Z A y y = ( ) rechte zal dan evenwijdig zijn y Z C y y = ( ) met de -as. y = y = y = 5 ( 3) ( 3) ( 3) y = -6( 3) y = y -0 = 0 Z B y = q y = 4 y 6 = y 6 = 3 6 ( +) 9 3 ( +) 9 3 y 6 = ( +) y 6 = 6 ( +) y 66 = y -60 = 0

8 b) Bepaal het zwaartepunt Z van deze driehoek. Je kiest twee (bij voorkeur de gemakkelijkste) vergelijkingen, en bepaalt daarvan het snijpunt. 6 y 0 0 y y y y y y 4 8 Het zwaartepunt is Z,4 3 Ter controle even nakijken of dit punt ook op de derde zwaartelijn ligt: = = 0!

9 c) Noem het midden van [BC] M. Bereken de afstand AZ en ZM Wat valt er op? AZ = 3 y y = = 37 = 4 = = ZM = y = y = = = = = Besluit: AZ =. ZM (Dit is steeds waar, voor elke driehoek en voor elke zwaartelijn. Het zwaartepunt ligt steeds op /3 van de afstand tussen het midden en het overstaande hoekpunt.) d) Maak een duidelijke tekening.

10 . De hoekpunten van ABC hebben volgende coördinaten: A(-3,-4); B(-,6) en C(7,). a) Bepaal het midden van [AB], en noem dat punt: M. y y co(m [AB] ) =, =, =, b) Bepaal een vergelijking van de rechte door M, en evenwijdig met AC. Noem het snijpunt met BC: N.(Tip: maak eventueel een schets om het probleem beter te begrijpen.) Bepaal eerst de richtingscoëfficiënt van AC (Het is niet nodig om de vergelijking van AC helemaal op te stellen, het volstaat om de richtingscoëfficiënt te bepalen.): m AC = y y = = 0 6 = 5 3 Bepaal dan de vergelijking door M, met deze richtingscoëfficiënt: MN y y = m( ) y = 5 3 (+) 5y 5 = y + = 0 (Beide leden maal, en distributiviteit in het rechterlid) c) Stel een vergelijking op van de zijde BC. BC y y = y 6 = y 6 = y 6 = y y 6 ( +) 7 4 ( +) 8 ( +) y = - +y-=0 ( )

11 d) Bepaal het snijpunt van de rechte MN met de zijde BC. 3 5y 0 (Hier kan je kiezen welke methode, combinatie of substitutie) y 0 3( y ) 5y 0 (We kozen voor substitutie) y 6y 33 5y 0 y y 44 0 y y 44 y y 4.4 y 4 3 Dus co(n) = (3,4) e) Bepaal de lengte MN en AC. Wat valt er op? MN = y = y 3 4 = AC = y = y = 5 3 = 5 9 = = = 36 = = 34 Besluit: AC =. MN Dit is een eigenschap die je vorig jaar hebt gezien. je hebt het lijnstuk [MN] toen een middenparallel van de driehoek genoemd. En de middenparallel is de helft van de evenwijdige zijde. f) Bepaal het midden van [BC]. Wat valt er op? co(m [BC] ) = y y, =, =, = (3,4) Het midden van [BC] is het snijpunt van de evenwijdige door M met de zijde [AC]. Ook deze eigenschap heb je vorig jaar gezien: elke rechte in een driehoek, die evenwijdig loopt aan een zijde, en door het midden van een tweede zijde gaat, snijdt de derde zijde ook in het midden. Op deze manier kan je eigenschappen analytisch (= door te rekenen met coördinaten) aantonen.

Vergelijkbare documenten

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand