Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren

Transcriptie

1 Wiskunde Leerjaar 1 - periode 3 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren A. Zeven verschillende ruimtefiguren Hieronder zie je zeven verschillende ruimtefiguren. De ruimtefiguren ontstaan uit vlakke figuren, zoals een vierkant, rechthoek, cirkel, driehoek of veelhoek. 1. Kubus Een kubus ontstaat uit een vierkant. Leg het vierkant als een grondvlak op de grond. Kopieer het grondvlak en maak daar een bovenvlak van. Verbind nu de hoekpunten die recht boven elkaar liggen. DefiniDe van een kubus: regelmadg zesvlak waarvan alle vlakken vierkant zijn. Een kubus is dus een ruimtefiguur met 6 grensvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben die allemaal even lang zijn. 2. Balk Een balk ontstaat uit een rechthoek. Leg de rechthoek als een grondvlak op de grond. Kopieer het grondvlak en maak daar een bovenvlak van. Verbind nu de hoekpunten die recht boven elkaar liggen. DefiniDe van een balk: zesvlak waarvan alle vlakken rechthoek zijn. Een balk is dus een ruimtefiguur met 6 grensvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben. De 12 ribben zijn te verdelen in drie groepjes van vier gelijke ribben. Opmerking: een kubus is óók een balk; maar een balk hoem geen kubus te zijn. 3. Cilinder Een cilinder ontstaat uit een cirkel. Leg de cirkel als een grondvlak op de grond. Kopieer het grondvlak en maak daar een bovenvlak van. Verbind nu beide vlakken met een derde vlak ; de mantel. DefiniDe van een cilinder: ruimtefiguur met een cirkelvormig grondvlak én bovenvlak. Beide vlakken zijn met elkaar verbonden door een derde - gebogen - vlak; de mantel H.J. Riksen!1

2 4. Prisma Een prisma ontstaat uit iedere vorm die geen vierkant, rechthoek of cirkel is. Dat kan dus een driehoek zijn, maar ook een vijsoek of bijvoorbeeld de vorm van een huis. Leg de vorm als een grondvlak op de grond. Kopieer het grondvlak en maak daar een bovenvlak van. Verbind nu de hoekpunten die recht boven elkaar liggen. DefiniDe van een prisma: ruimtefiguur met een veelhoekig grondvlak en een idendek bovenvlak. De boven elkaar liggende hoekpunten zijn loodrecht met elkaar verbonden. De zijvlakken van een prisma zijn aldjd rechthoeken. 5. Piramide Een piramide ontstaat uit een veelhoek, bijvoorbeeld een driehoek, vierhoek of vijsoek. Leg de veelhoek als een grondvlak op de grond. Kies midden boven de veelhoek een punt in de ruimte en verbind de hoeken van het grondvlak in dat punt. DefiniDe van een piramide: ruimtefiguur met een veelhoek als grondvlak en zijvlakken vanuit elk van de zijden van de veelhoek naar een gemeenschappelijke punt, de top. De zijvlakken van een piramide zijn aldjd driehoeken. 6. Kegel Een kegel ontstaat uit een cirkel. Leg de cirkel als een grondvlak op de grond. Kies midden boven de cirkel een punt in de ruimte en verbind het grondvlak met dat punt door middel van een tweede vlak, de mantel. DefiniDe van een kegel: ruimtefiguur met een cirkel als grondvlak en één gebogen zijvlak dat samenkomt in één punt. 7. Bol Een bol ontstaat uit een cirkel. Leg de cirkel in de ruimte en teken oneindig veel nieuwe cirkels met dezelfde straal rond hetzelfde middelpunt. DefiniDe van een bol: ruimtefiguur waarvan alle punten die het oppervlak vormen, zich op dezelfde afstand van het middelpunt bevinden H.J. Riksen!2

3 B. Ruimtefiguren in de architectuur Ruimtefiguren kom je overal tegen; zowel in de natuur als in de techniek. Van de zeven ruimtefiguren zijn bijvoorbeeld vele gebouwen gemaakt. Hieronder zie je een aantal voorbeelden. 1. Kubus Architect Piet Blom ontwierp begin jaren tachdg een aantal kubuswoningen. Ze staan aan de Blaak in RoZerdam. Omdat de woningen op palen staan, heet het complex ook wel Blaakse Bos. Eén van de woningen is te bezichdgen. De woningen zijn trouwens niet erg prakdsch. Er zit niet veel ruimte in en er is bijna geen rechte muur om een kast tegenaan te zezen. 2. Balk Ook in RoZerdam staat De DelMse Poort uit 1991, ontworpen door Abe Bonnema. Het gebouw is 151 meter hoog en was bijna twindg jaar lang het hoogste kantoorgebouw van Nederland. In het complex zizen 28 limen en het geheel rust op 957 heipalen. 3. Cilinder De SchuZerstoren is een woontoren in Amsterdam van DKV architecten (2006). Zij wonnen er de Amsterdamse Nieuwbouwprijs mee. In het gebouw zizen 54 appartementen. De toren staat op een soort grasheuvel (terp) waarin parkeerplaatsen zijn verstopt en op het dak zijn groene dakterrassen. De bewoners doen veel samen om het gebouw en de omgeving mooi te houden. Ze hebben zelfs een gemeenschappelijke website ( H.J. Riksen!3

4 4. Prisma Het Amerikaanse Ministerie van Defensie is gehuisvest in Het Pentagon, een vijsoekig gebouw in Arlington, Virginia. Het gebouw werd al Djdens de Tweede Wereldoorlog gebouwd (1942) en is ontworpen door George Bergstrom. Bij het complex horen indrukwekkende getallen: De lengte van één gevel is 280 m; er zizen 284 toilezen in; de gangen hebben een gezamenlijke lengte van 28 kilometer en er werken iedere dag maar liefst mensen. 5. Piramide In Astana (Kazachstan) staat sinds 2006 de Piramide van Vrede van de Britse architect Norman Foster. Op foto s lijkt het gebouw klein, maar alleen al in de kelder zit een operazaal die plaats biedt aan 1325 mensen. Het Atrium is geschikt voor congressen en verder huisvest het gebouw een museum en hangende tuinen. De piramide is bedoeld om mensen van allerlei geloven en culturen samen te brengen. 6. Kegel Het centrale winkelcentrum in Melbourne (Australië) heem een kegelvormig glazen dak, waaronder een historische kogeltoren uit 1888 staat. Kogeltorens werden in de 19e eeuw gebruikt om ronde loden kogels te maken, door vloeibaar lood van grote hoogte in koud water te laten vallen. Ontwerp: Kisho Kurokawa, Bol De Ericsson Globe in Stockholm (Zweden) is een evenementenhal waar voornamelijk ijshockeywedstrijden en concerten worden georganiseerd. Er is plek voor ruim mensen. De Globe is het grootste bolvormige gebouw ter wereld met een diameter van 110 meter. Het gebouw is ook bekend van het Eurovisie SongfesDval (2000 en 2016). Ontwerp: Berg Arkitektkontor, H.J. Riksen!4

5 C. Oppervlakte van ruimtefiguren Om de oppervlakte van ruimtefiguren te berekenen moet je de oppervlakte van alle vlakken bij elkaar optellen. Soms gaat dat eenvoudig, soms moet je even nadenken. Hieronder wordt uitgelegd hoe je de oppervlakte van de zeven figuren berekent. 1. Kubus De oppervlakte van een kubus bestaat uit zes gelijke vierkanten. Als je dus de lengte van één zijde van één vierkant weet, kun je de oppervlakte berekenen. De oppervlakte van een vierkant is zijde zijde, omewel zijde 2. Er zijn zes vierkanten, dus de totale oppervlakte van een kubus is: 6 zijde 2 2. Balk De oppervlakte van een balk bestaat uit drie paar gelijke rechthoeken. Het makkelijkst is om te onthouden dat je de oppervlakte van alle zes de zijdes bij elkaar optelt: Oppervlakte van alle zes zijdes optellen. 3. Cilinder De oppervlakte van een cilinder bestaat uit de oppervlakte van het grondvlak + de oppervlakte van het bovenvlak + de oppervlakte van de mantel. Grondvlak en bovenvlak zijn gelijk, namelijk een cirkel met de formule: π r 2 1 (uitgaande van de straal) of π 4 D2 (uitgaande van de diameter). De oppervlakte van de mantel bereken je met deze formule: 2 π r h (uitgaande van de straal) of π D h (uitgaande van de diameter). Zo komen we op de volgende formules voor de totale oppervlakte van een cilinder: 2 π r π r h (uitgaande van de straal) of π 2 D2 + π D h (uitgaande van de diameter). 4. Prisma Het grondvlak van een prisma kan vele vormen aannemen. Een algemene formule voor de oppervlakte bestaat daarom niet. Net als bij de balk is de enige regel die wél aldjd geldt voor de oppervlakte: Oppervlakte van alle zijdes optellen. 5. Piramide Het grondvlak van een piramide kan vele vormen aannemen. Een algemene formule voor de oppervlakte bestaat daarom niet. Net als bij de balk is de enige regel die wél aldjd geldt voor de oppervlakte: Oppervlakte van alle zijdes optellen. 6. Kegel De oppervlakte van een kegel bestaat uit de oppervlakte van het grondvlak + de oppervlakte van de mantel. Grondvlak is een cirkel met de formule: π r 2 1 (uitgaande van de straal) of π D2 (uitgaande van de diameter). De oppervlakte van de mantel bereken je met de formule: π r r 2 + h 2 (uitgaande 1 van de straal) of π D D2 + h 2 (uitgaande van de diameter). Zo komen we op de volgende formules voor de totale oppervlakte van een kegel: π r 2 + π r r 2 + h 2 1 (uitgaande van de straal) of π 4 D2 + 1 π D D2 + h 2 (uitgaande van de diameter) H.J. Riksen!5

6 7. Bol De oppervlakte van een bol bereken je met de volgende formule: 4 π r 2 (uitgaande van de straal) of π D 2 (uitgaande van de diameter). D. Inhoud van ruimtefiguren De inhoud van ruimtefiguren bereken je over het algemeen door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. Bij een piramide en een kegel moet je dat antwoord nog delen door Kubus De inhoud van een kubus bereken je door de oppervlakte van het grondvlak (zijde 2 ) te vermenigvuldigen met de hoogte (zijde); dus: zijde Balk De inhoud van een balk bereken je door de oppervlakte van het grondvlak (lengte breedte ) te vermenigvuldigen met de hoogte, dus: lengte breedte hoogte. 3. Cilinder De inhoud van een cilinder bereken je door de oppervlakte van het grondvlak (cirkel) te vermenigvuldigen met de hoogte, dus: π r 2 1 h (uitgaande van de straal) of π 4 D2 h (uitgaande van de diameter). 4. Prisma De inhoud van een prisma bereken je door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. Aangezien het grondvlak verschillende vormen kan aannemen, is er geen betere formule te geven dan: oppervlakte grondvlak hoogte. 5. Piramide De inhoud van een piramide bereken je door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte; en dat antwoord te delen door 3. Aangezien het grondvlak verschillende vormen kan aannemen, is er geen betere formule te geven dan: ⅓ oppervlakte grondvlak hoogte. 6. Kegel De inhoud van een cilinder bereken je door de oppervlakte van het grondvlak (cirkel) te vermenigvuldigen met de hoogte; en dat antwoord te delen door 3. Dat wordt dus: 1 (uitgaande van de straal) of π 12 D2 h (uitgaande van de diameter). 7. Bol De inhoud van een bol bereken je met de volgende formule: 4 π r (uitgaande van de straal) of π D3 6 (uitgaande van de diameter). 1 π r 2 h H.J. Riksen!6

7 Hoofdstuk 1 - Opgaven 1. Bereken de oppervlakte en de inhoud van een balk met de volgende afmedngen: l = 3 m, b = 3 dm en h = 15 cm. 2. Bereken de oppervlakte en het volume van een kubus met een ribbe van 12 cm. 3. Van een balk is de oppervlakte 1090 cm 2. De lengte is 13 cm en de hoogte is 2,1 dm. Bereken de breedte en het volume van de balk. 4. De inhoud van een balk is 533,52 cm 3. De breedte is 1,2dm, terwijl de hoogte 5,7cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze balk. 5. Een kubus heem een inhoud van 1728 cm 3. Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte. 6. De totale oppervlakte van een kubus is A = 726 cm 2. Bereken de lengte van een zijde en de inhoud. 7. De dwarsdoorsnede van figuur 3 is een gelijkbenige driehoek met gelijke recht- hoekzijden van 6 cm. De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 10 cm. a) Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede. b) Bereken de oppervlakte van het prisma. c) Bereken het volume van het prisma. 8. Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5 cm. De hoogte TT1 =15cm. a) Bereken de oppervlakte van de piramide. b) Bereken de inhoud van de piramide. 9. Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De hoogte bedraagt 30 cm.. a) Bereken de oppervlakte van de piramide. b) Bereken de inhoud van de piramide. 10. Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De inhoud bedraagt 2000 cm 3. a) Bereken de hoogte van de piramide. b) Bereken de oppervlakte van de piramide H.J. Riksen!7

8 11. Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 6 cm en 7 cm. De inhoud is 126 cm 3. a) Bereken de hoogte van het prisma. b) Bereken de oppervlakte van het prisma. 12. Het grondvlak van een recht regelmadg prisma heem 6 zijden van elk 8 cm. De hoogte bedraagt 15 cm. a) Bereken de omtrek van het grondvlak. b) Bepaal de oppervlakte van het grondvlak. c) Bereken de totale oppervlakte van het prisma. d) Bereken het volume van het prisma 13. Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een straal van 2 m. 14. Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een middellijn van 6 cm. 15. Een bol heem een oppervlakte van 100 cm 2. a) Bereken de straal van de bol. b) Bepaal de inhoud van de bol. 16. Een bol heem een inhoud van 250 cm 2. a) Bereken de straal van de bol. b) Bepaal de oppervlakte van de bol. 17. Een conservenblik heem een diameter van 10 cm en is 12,7 cm hoog a) Bereken de oppervlakte van het blik. b) Bereken de inhoud van het blik. 18. Een ander blik heem dezelfde inhoud van 750 cm 3 en is 15 cm hoog. a) Bereken de straal van de bodem. b) Bereken oppervlakte van het blik. 19. Een cilinder heem een inhoud van 80 cm 3 en een diameter van 8 cm. a) Bereken de hoogte. b) Bereken de totale oppervlakte H.J. Riksen!8

9 20. De oppervlakte van de mantel van een cilinder is 30 cm 2. De straal is 4 cm. a) Bereken de hoogte van de cilinder. b) Bereken de inhoud van de cilinder. 21. Een ronde kerktoren heem een diameter van 7 m. De spits is 5 m hoog. a) Bereken de oppervlakte van de spits. b) Bereken de inhoud van de spits. 22. Het grondvlak van een kegel heem een straal van 8 cm. De hoogte is 10 cm. a) Bereken de oppervlakte van de kegel. b) Bereken de inhoud van de kegel. 23. Een kegel heem een inhoud van 1000 cm 3. De hoogte is 12 cm. a) Bereken de straal van het grondvlak van deze kegel. b) Bereken het oppervlak van deze kegel. 24. Een kegel heem een inhoud van 480 cm 3. De straal van het grondvlak is 7 cm. a) Bereken de hoogte van deze kegel. b) Bereken het oppervlak van deze kegel H.J. Riksen!9