Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Transcriptie

1 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos tsin t - -

2 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede van de situatie. Het deel van de bal onder het wateroppervlak is daarin grijs gemaakt. h m het rekenwerk te vereenvoudigen, draaien figuur we de figuur een kwartslag. Vervolgens kiezen we y een assenstelsel zodanig dat de halve cirkel boven de -as de grafiek is van de functie f met: f f ( ) h Hierbij zijn en f( ) in centimeters. Zie figuur. Het deel van de bal onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de grafiek van f om de -as. Voor de inhoud I in cm 3 van het deel van de bal onder het wateroppervlak geldt: 3 I π h ( h) 4p Bewijs dat deze formule juist is. De massa van de bal is 45 gram. Uit de natuurkunde is bekend dat de massa van een drijvende bal even groot is als de massa van het door de bal weggedrukte water. Neem aan dat cm 3 water een massa van gram heeft. 3p Bereken hoe diep de drijvende bal in het water ligt. Rond je antwoord af op een geheel aantal millimeters. - -

3 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Cirkels in een driehoek ls vanuit een punt buiten een figuur cirkel de twee raaklijnen aan die cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van tot de twee raakpunten en even groot. In figuur geldt dus. Deze eigenschap mag je in deze opgave gebruiken. Gegeven is een rechthoekige driehoek BC met rechthoekszijden B 4 en BC 3. De ingeschreven cirkel van driehoek BC raakt de zijden van de driehoek in, en R. M is het middelpunt van deze cirkel. Zie figuur. figuur C R M B De straal van de ingeschreven cirkel van driehoek BC is. 4p 3 Bewijs dit

4 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Tussen de ingeschreven cirkel en de zijden B en C van de driehoek wordt een tweede cirkel met middelpunt N getekend. Deze tweede cirkel raakt de zijde B in U, de ingeschreven cirkel in V en de zijde C in W. De punten M, N en liggen dus op één lijn. De straal NU van de tweede cirkel is r. De loodrechte projectie van N op M is T. Zie figuur 3. figuur 3 C R W r N V M T U B Er geldt: U 3r. 3p 4 Bewijs dit. 5p 5 Bereken r. Rond je antwoord af op twee decimalen. Gebroken goniometrische functie Voor elke waarde van a, met a 0 f a sin( a) ( ) cos( a), is de functie f a gegeven door: 4p 6 Bereken eact voor welke waarden van a de lijn met vergelijking een verticale asymptoot is van de grafiek van a 5p 7 Bewijs dat de grafiek van f puntsymmetrisch is in het punt (, 0)

5 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Boven en onder de lijn door de buigpunten Voor elke waarde van p met p 0 is een functie f p gegeven waarbij voor de tweede afgeleide geldt: f ''( ) ( p)( p) p Er geldt: 4 f p ( ) 6 p a b met a en b constanten. 4p 8 Toon dit aan met primitiveren. Voor a 8 en b 5 wordt f gegeven door f 4 ( ) In de figuur zie je de grafiek van f. Deze grafiek heeft buigpunten voor en. De lijn door deze buigpunten heeft vergelijking y 8. Deze lijn en de grafiek van f begrenzen drie vlakdelen V, V en V 3 die om en om onder en boven de lijn liggen. figuur y V f V V 3 De lijn met vergelijking y 8 snijdt de grafiek van f niet alleen in de twee buigpunten, maar ook in twee andere punten. 4p 9 Bereken eact de -coördinaten van de twee andere snijpunten. De vlakdelen V en V 3 hebben gelijke oppervlakte, namelijk p 0 Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van V en V 3 gelijk is aan de oppervlakte van V

6 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Vierkant op een driehoek Gegeven zijn de punten (0, 0) en (, 0). unt beweegt over de halve cirkel met middelpunt en straal volgens de bewegingsvergelijkingen ( t) cost yt ( ) sint met 0 t Tegen de zijde van driehoek ligt een vierkant R. Dit vierkant ligt buiten driehoek. unt S is het snijpunt van de diagonalen van vierkant R. In figuur is de situatie op de tijdstippen t en t weergegeven. figuur t = t = S S R R Er geldt: costsint S costsint 4p Bewijs dit. In figuur is een deel getekend van de baan waarover S beweegt tijdens de beweging van punt. Figuur doet vermoeden dat de baan van S een cirkel is met middelpunt M (, ). 4p Bewijs dat de afstand van S tot het punt M (, ) constant is. figuur S R M - 6 -

7 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Gespiegelde raaklijnen Een lijn met vergelijking a y b, met a 0, wordt gespiegeld in de lijn met vergelijking y. In figuur zijn voor zekere waarden van a en b de lijn en zijn spiegelbeeld getekend. De hoek tussen de twee lijnen is. Er geldt: a cos a figuur y α 4p 3 Bewijs dit. y = Gegeven zijn de parabool p met vergelijking y en de parabool q met vergelijking y. p en q zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn met vergelijking y. figuur y p q p p ligt een punt met een negatieve -coördinaat. De raaklijn in aan p wordt gespiegeld in de lijn met vergelijking y. Dit spiegelbeeld raakt q in het punt. De hoek tussen de twee raaklijnen is. In figuur is een mogelijke situatie getekend. y = α Er zijn twee gevallen waarin de hoek tussen de twee raaklijnen gelijk is aan 30º. 6p 4 Bereken eact de -coördinaat van in elk van deze gevallen

8 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Grafiek verdeelt rechthoek Voor 0 is de functie f gegeven door f( ). In onderstaande figuur is voor p 0 een rechthoek getekend die wordt begrensd door de lijnen met vergelijkingen p en y, de -as en p de y-as. figuur y p f p Voor elke positieve waarde van p verdeelt de grafiek van f de rechthoek in twee stukken. 7p 5 Bewijs met behulp van integreren dat de oppervlakte van elk van deze stukken onafhankelijk is van de waarde van p

9 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I De ideale stoothoek Een kogelstoter stoot een kogel weg onder een hoek (in radialen, 0 ). De hoogte in meters waarop de kogelstoter de kogel loslaat is h. Zie figuur. figuur α h Bij deze situatie kiezen we een assenstelsel waarbij de plaats waar de kogel wordt losgelaten zich op hoogte h op de verticale as bevindt. De kogel komt op afstand r in meters van de oorsprong op de grond. Zie figuur. In deze opgave gaan we ervan uit dat de kogelstoter de kogel altijd met dezelfde snelheid wegstoot. figuur y h r ls zo is dat cos 0,6 en we de afmetingen van de kogel en de wrijving met de lucht verwaarlozen, dan gelden (bij benadering) de volgende formules voor de coördinaten van de kogel tijdens de vlucht: ( t) 8, 4t yt ( ) h, t 4,9t Hierin is t de tijd in seconden met t 0 op het moment van loslaten, de horizontale afstand in meters en y de hoogte in meters. 3p 6 Bereken de snelheid van de kogel op tijdstip t

10 Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I De horizontale afstand r die de kogel overbrugt, hangt af van de hoek waaronder deze wordt weggestoten. In het algemeen geldt voor elke waarde van de volgende formule voor r: r 0cos sin sin 0,h De ideale stoothoek is de hoek waarbij r zo groot mogelijk is. We bekijken nu de situatie waarbij de kogelstoter de kogel loslaat op een hoogte van,85 m. 3p 7 Bereken voor deze situatie de ideale stoothoek. Tot slot bekijken we de denkbeeldige situatie waarin h 0. 6p 8 Bereken eact de ideale stoothoek voor deze denkbeeldige situatie