TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, 9-12 uur. Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een (eventueel grafische) zakrekenmachine, van een onbeschreven Statistisch Compendium en van een éénzijdig handbeschreven A4 met aantekeningen. De antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Er zijn 7 vraagstukken met in totaal 20 onderdelen. Elk onderdeel wordt gewaardeerd met 4 punten. Het cijfer voor het schriftelijk wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 8 te delen. 1. Enkele jaren geleden is de rol van Brussel binnen de EU nog belangrijker geworden en de stad is in populariteit gestegen. Behalve dat het aantal toeristen de laatste jaren is toegenomen, is ook het studentenaantal gegroeid, zowel aan de Vrije Universiteit Brussel (VUB) als aan de Université Libre de Bruxelles (ULB). De naamgeving doet denken dat het om een en dezelfde universiteit gaat, maar het zijn verschillende universiteiten, waarbij de ene Nederlandstalig en de ander Franstalig is. Bij een bezoek aan de stad is een verkenning in het deel van de stad met de EU-gebouwen een aanrader, maar ook een wandeling door een van de vele, mooie parken van Brussel is de moeite waard. Men selecteert aselect 100 studenten en vraagt aan welke universiteit ze studeren en welk park hun voorkeur heeft: Ter Kamerenbos of het Jubelpark. Het resultaat staat in onderstaande tabel. voorkeur Ter Kamerenbos ja nee student(e) VUB student(e) ULB Stel U: gebeurtenis student(e) studeert aan Franstalige universiteit ULB, en V: gebeurtenis student(e) geeft voorkeur aan park Ter Kamerenbos. (a) Bereken de kansen P (U V ) en P (U V ). (b) Bereken P (U) en P (U V ). Laat zien dat U en V afhankelijk zijn. (c) Stel het getal 55 is weggevallen (en daarmee ook het totaal aantal gevraagde studenten onbekend). Door welk getal zou men dit moeten vervangen zodat U en V wel onafhankelijk zijn? Motiveer uw antwoord met een berekening. 1 van 6

2 2. Als cultureel hoogtepunt van de stad wordt vaak een bezoek aan het Museum van de Schone Kunsten genoemd. Veel minder bekend is bijvoorbeeld het Stripmuseum. Dit museum is gehuisvest in een oud warenhuis ontworpen door de beroemde architect Viktor Horta ( ) en zeer de moeite waard. Als je dan ook nog van de geschiedenis van het Vlaamse stripverhaal en van lekker eten in bijbehorend restaurant houdt, is je middag compleet. De bezoektijd X 1 (in minuten) aan het museum (zonder restaurantbezoek) is normaal verdeeld met verwachting µ 1 = 90 en standaarddeviatie σ 1. (a) Stel de kans dat een willekeurige bezoeker tussen de 80 en 100 minuten over een bezoek aan Stripmuseum doet is gelijk aan Bepaal σ 1. Neem in onderdeel (b) en (c) aan dat σ 1 = 10. (b) Bereken de kans dat 10 willekeurige bezoekers gemiddeld minder dan 85 minuten over een bezoek aan het Stripmuseum doen. (c) Stel het restaurantbezoek X 2 is normaal verdeeld met verwachting µ 2 = 40 en σ 2 = 5 minuten. Bepaal de kans dat een bezoek aan het museum en het restaurant tezamen minder bedraagt dan 140 minuten. (d) Men vermoedt dat zowel de verwachting µ 1 als de standaarddeviatie σ 1 van de bezoektijd van het museum is gewijzigd. De waarden van deze parameters zijn dus onbekend. De bezoektijden van 20 willekeurige bezoekers aan het museum worden gemeten. Het gemiddelde bedraagt 87 en de (steekproef)standaarddeviatie 4 minuten. Stel een 95%-betrouwbaarheidsinterval op voor de (nieuwe) verwachte museumbezoektijd (dus zonder een bezoek aan het restaurant). 3. Ook aan de buitenrand van Brussel zijn mooie dingen te bekijken. Denk aan het wereldberoemde Atomium, dat zowel op grote afstand als dichtbij bezien zeer indrukwekkend is. Een interessant, maar enigszins omstreden museum ten oosten van Brussel is het Afrikamuseum. Interessant wegens de collectie en het imposante gebouw, omstreden wegens de praktijken die koning Leopold II erop nahield ten tijde van de kolonisatie van Kongo. Enige tijd geleden wilde men de populariteit van het museum ten opzichte van andere musea onderzoeken. Er werd een enquête gehouden onder willekeurige toeristen in Brussel. Van de 500 toeristen vonden 80 toeristen dat het Afrikamuseum tot de top 3 van musea van Brussel behoorde. (a) Geef een tweezijdig 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie toeristen dat het Afrikamuseum tot de top 3 van musea van Brussel vindt behoren. (b) Iemand wil de bewering toetsen dat de ware fractie toeristen dat het Afrikamuseum tot de top 3 vindt behoren gelijk is aan Stel de hypothesen op en voer de toets uit. (U mag hierbij gebruik maken van het antwoord in (a).) Ten tijde van de enquête weigerde 20% van de gevraagden de enquête in te vullen. (c) Bepaal de exacte kans dat van 15 gevraagden minder dan 7 maar meer dan 3 de enquête weigerden in te vullen. 2 van 6

3 4. Na een bezoek aan het wereldberoemde Manneke Pis, mag in de binnenstad van Brussel het proeven van een Belgisch biertje niet ontbreken. In een bepaald kroegje schenkt men drie soorten bier, te weten Maes Pils (A), Kriek Mort Subite (B) en Westmalle Tripel (C). In de tabel hieronder vindt u de prijs per glas (X) en de kans dat een willekeurige bierbestellende klant kiest voor een bepaald biertje. biersoort A B C opbrengst x (euro/glas) P (X = x) = f(x) (a) Noem de twee voorwaarden waaronder f een kansfunctie is en laat zien dat f aan deze voorwaarden voldoet. (b) Bepaal de verwachting en de variantie van X. (c) De kroeg gaat een vierde soort bier Chimay Bleue (D) voeren, waar een kwart van de (bierbestellende) klanten voor blijkt te gaan kiezen. De afname van de kans op bestellen A, B en C is naar rato van de respectievelijke oude kans. Stel de nieuwe kansdichtheidsfunctie g(x) op voor X, waarbij de prijs per glas van D gelijk aan 3.50 euro is In dit vraagstuk worden per onderdeel vier beweringen gedaan waarvan slechts één waar is. U hoeft uw keuze NIET toe te lichten. Stel X 1, X 2,..., X n zijn n onafhankelijke waarnemingen uit een normale verdeling met verwachting µ en variantie σ 2. (a) Stel Θ 1 = 1 n n i=1 (X i) en Θ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2 waarbij X het gemiddelde van de n waarnemingen is. Welke van de volgende vier beweringen is waar? A. Θ 1 is een zuivere schatter voor µ en Θ 2 is een zuivere schatter voor σ 2. B. Θ 1 is een zuivere schatter voor µ en Θ 2 is een onzuivere schatter voor σ 2. C. Θ 1 is een onzuivere schatter voor µ en Θ 2 is een zuivere schatter voor σ 2. D. Θ 1 is een onzuivere schatter voor µ en Θ 2 is een onzuivere schatter voor σ 2. (b) Stel X en Y zijn beiden uniform verdeeld op het interval [0,1] en onafhankelijk van elkaar. Welke van de volgende vier beweringen is waar? A. X + Y is uniform verdeeld op [0,1] met verwachting µ = 0.5. B. X + Y is uniform verdeeld op [0,2] met verwachting µ = 1. C. X + Y is anders dan uniform verdeeld met verwachting µ 1. D. X + Y is anders dan uniform verdeeld met verwachting µ = 1. 3 van 6

4 6. In een van de voorafgaande opgaven werd de architect Viktor Horta genoemd. Rond 1900, toen de Art Nouveau zijn hoogste bloei kende, bouwde hij zijn eigen huis en atelier waarin nu het Hortamuseum is gevestigd. De mosaïeken, de glasramen, het meubilair en de muurschilderingen vormen een harmonisch geheel. Na buiten in de wachtrij te hebben gestaan, kan het bezoek beginnen dat de moeite waard is. Men veronderstelt dat de bezoektijd normaal verdeeld is met verwachting µ = 40. Om dit te toetsen neemt men een steekproef van 30 onafhankelijke bezoekers en meet een gemiddelde bezoektijd van 43 minuten. (a) Formuleer de hypothesen voor een toets om te constateren of de verwachte bezoektijd aan het Hortamuseum significant afwijkt van µ = 40 minuten. Voer de toets uit met α = 0.05, waarbij σ = 5 bekend is. Bepaal hiertoe de waarde van de toetsingsgrootheid en noem de waarde uit de tabel waarmee u de toetsingsgrootheid vergelijkt om tot uw conclusie te komen. (b) Bepaal de p-waarde voor de toets uitgevoerd in onderdeel (a). Geef aan hoe u met deze p-waarde de toets in (a) kunt uitvoeren. Op de 30 waarnemingen voert men beschrijvende statistiek uit. De resultaten ziet u in de bijlage. (c) Bepaal de weggelaten waarden *** in de tabel Descriptives uit de bijlage en geef aan hoe u aan de waarden komt. Indien een waarde berekend moeten worden, laat dan de berekening zien. Indien een waarde afgelezen moet worden uit een grafische voorstelling, dan is een benadering voldoende. (d) Lijkt het aannemelijk dat de waarnemingen uit een normale verdeling komen, gezien de output in de bijlage? Geef 3 redenen waarom wel/niet. Doet het antwoord op deze vraag ertoe voor het uitvoeren van de toets in onderdeel (a)? Motiveer uw antwoord. 7. Gegeven is de stochast X met kansdichtheidsfunctie f(x) = 0.5x voor 1 x 1. (a) Bepaal de verwachting en de variantie van X. 4 van 6

5 BIJLAGE bezoektijd Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 7, , , , ,00 Extremes (>=57) Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) 5 van 6

6 6 van 6

7 Uitwerkingen Tentamen Statistiek 1 voor B (2S410) op woensdag 26 juni 2013, uur. 1. (a) P (U V ) = = 3 20 (b) P (U) = 7 10 en P (U V ) = = 4 5 en P (U V ) = = 3 5. P (U) = 7 3 = P (U V ), dus U en V zijn afhankelijk (c) Stel het weggevallen getal gelijk aan K (in plaats van 55). Voor onafhankelijkheid moet gelden: P (U) = 15+K 15 = P (U V ) =. 45+K 25 Kruiselings vermenigvuldigen geeft: K = K en heeft als oplossing K = (a) P (80 < X 1 < 100) = P ( σ 1 Wegens symmetrie geldt: P < Z < σ 1 ) = 0.80 ( Z < σ 1 ) = Dus (tabel): σ 1 = Hieruit volgt dat σ 1 = ( ) (b) P (X < 85) = P Z < / = P (Z < 1.581) = (c) Stel X = X 1 + X 2, dan X N( , ) = N(130, ( ) 125) Er geldt: P (X < 140) = P Z < = P (Z < 0.894) (d) Het tweezijdig 95%-betrouwbaarheidsinterval voor µ 1 is gelijk aan: s (x t 20 1,0.025 s n, x + t 20 1,0.025 n ) = ( , = (85.13, 88.87) pagina 1 van 3

8 3. (a) Het tweezijdig 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie bezoekers dat het Afrikamuseum tot de top 3 vindt behoren is: ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) (ˆp z 0.025, ˆp + z n ) n ˆp = 80 = 0.16, dus (1 0.16) 0.16(1 0.16) ( , ) = ( , ) = (0.128, 0.192) (Het toepassen van de formule is gerechtvaardigd, omdat n > 30.) (b) (Stel p de ware fractie bezoekers dat het Afrikamuseum tot de top 3 vindt behoren.) Hypothesen: H 0 : p = 0.12 en H 1 : p ligt niet in het interval bepaald in (a). H 0 wordt dus verworpen. De ware fractie wijkt af van (Als antwoord op deze vraag mag ook de toetsprocedure doorlopen worden. Dit is equivalent aan toetsen met het betrouwbaarheidsinterval.) (c) Stel X het aantal personen dat weigert de enquête in te vullen. Dan X Bin(n = 15, p = 0.20). P (3 < X < 7) = P (X 6) P (X 3) = = (De kansen kunnen worden berekend of worden opgezocht in het compendium.) 4. (a) i. f(x) 0 voor alle x. Dit klopt, want f(x) = (P X = x) is voor de drie waarden van x in de tabel groter dan 0 en elders gelijk aan 0. ii. P (X = x) = 1. Dit klopt, want 1/2+1/4+1/4=1 (b) Er geldt E(X) = x P (X = x) = = En V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, waarbij E(X 2 ) = x 2 P (X = x) = = Dus V (X) = = (c) Bij biersoort D komt de kans 1/4 te staan. De kansen 1/2, 1/4 en 1/4 voor resp. biersoorten A, B en C moeten in de nieuwe kansdichtheidsfunctie g sommeren tot 3/4 naar rato van hun oude kansen en worden dus vermenigvuldigd met 3/4. Het resultaat wordt: biersoort A B C D opbrengst x (euro/glas) P (X = x) = g(x) (a) Bewering B is waar. (b) Bewering D is waar. pagina 2 van 3

9 6. (a) De hypothesen zijn: H 0 : µ = 40, H 1 : µ 40. toetsingsgrootheid z 0 = x µ 0 σ/ n = / 30 = > 1.96 = z (tabelwaarde), dus H 0 wordt verworpen. Conclusie: De bezoektijd wijkt af van 40 minuten. (b) p-waarde= 2 P (Z > 3.286) = De p-waarde is dus in ieder geval < 0.05 en de nulhypothese (uit (a)) wordt verworpen. (c) mediaan=42 (Lees af uit blad-en-stengel diagram of boxplot.) Std.Deviation= Variance = = Range=Minimum-Maximum=57-37=20 Std.Error= Std.Deviation n = = (d) Het is niet aannemelijk dat de waarnemingen uit een normale verdeling komen: De punten in de normaliteitsplot liggen niet mooi langs een lijn. Het histogram geeft een niet-symmetrische verdeling aan. (rechtsscheef) In de boxplot ligt de mediaan niet in het midden van de box, en de bovenste whisker is korter dan de onderste. de Shapiro-Wilk p-waarde=0.003 < 0.05, dus onderliggende verdeling is niet normaal. Het antwoord op deze vraag doet ertoe voor onderdeel (a). Immers, voor het uitvoeren van de z-toets is de aanname dat de waarnemingen uit een normale verdeling komen. Dit is niet het geval. Echter, wegens het feit dat de steekproefgrootte 30 is, mag de z-toets toch worden uitgevoerd wegens de CLS. 7. (a) E(X) = 1 1 x(0.5x ) = [ 1 8 x x2] x=1 x= 1 = ( ) = 0 V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = E(X 2 ) = 1 1 x2 (0.5x 2 + 1) = (0.5x x2 ) = [ 1 10 x5 + 1x3] x=1 = ( 1 1) = x= pagina 3 van 3