Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Transcriptie

1 Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel is een aantal punten waard, dat vetgedrukt is aangegeven. Het totaal aantal punten is. Er zijn vragen in drie categorieën: reproductie, T toepassing, I inzicht. Schrijf je naam, studentnummer en studierichting op elk blad dat je inlevert. Motiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder uitleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien. () [] (a) [7] Laat zien, met behulp van een Venn-diagram, dat de kans dat precies twee van de gebeurtenissen A, B en C optreden gelijk is aan P(A c ) + P(B c ) + P(C c ) P(A c B c ) P(A c C c ) P(B c C c ) + 3P(A c B c C c ). (b) [8] Laat zien dat als P(A) {, }, dan is A onafhankelijk van elke gebeurtenis B. () [] Op zaterdag en zondag doe ik boodschappen. Op zaterdag ga ik met kans naar Jumbo (J) en met kans naar Albert Heijn (AH). Gegeven dat ik op 3 3 zaterdag naar J ga, kies ik zondag voor J met kans en voor AH met kans Gegeven echter dat ik zaterdag naar AH ga, kies ik op zondag voor AH met kans en voor J met kans (a) [7] Bereken de kans dat ik op zondag naar J ga. (b) [8] Bereken de kans dat ik op zaterdag naar AH ga, geven dat ik op zondag naar J ga.

2 (3) [T] (4) [T] (a) [5] Zij X de discrete stochast met kansmassafunctie { C( p X (k) )k, k,,...,, elders. Bereken de waarde van C. Wat is het domein van de moment-genererende functie van X? (b) [5] Zij X de continue stochast met kansdichtheidsfunctie f X (x) C x exp( x ), x. Bereken de waarde van C. Wat is het domein van de moment-genererende functie van X? (a) [5] Zij X de continue stochast met cumulatieve kansverdelingsfunctie F X (x) ( x ) [, ) (x), x. Bereken de kansdichtheidsfunctie van de stochast Y /X. Hoe heet de kansverdeling van Y? (b) [5] Zij X, Y het paar discrete stochasten met gezamenlijke kansmassafunctie p X,Y (k, l) 6π (k + l + ) 3 N N (k, l), k, l Z. Bereken de kansmassafunctie van Z X + Y. (5) [T] Zij (X, Y ) het paar stochasten met gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) 3 [ max{x, y} min{x, y} ] [,] [,] (x, y), x, y. (a) [8] Bereken de kansdichtheidsfunctie van X gegeven Y y. (b) [7] Bereken E(X Y y).

3 (6) [T] De gemeente Leiden voert een onderzoek uit naar de bierconsumptie van jongeren op 3 oktober. Het doel van het onderzoek is om tot een schatting te komen van het gemiddeld aantal glazen dat jongeren tussen 8 en jaar op die feestdag drinken. Daartoe wordt een vrijwillige enquête gehouden onder 9 jongeren. De uitkomsten van die enquête zijn N,..., N 9. Volgens de wet van de grote aantallen geldt dat 9 9 i N i µ, waar µ het gezochte maar onbekende gemiddelde is. (7) [] (a) [8] Gebruik de centrale limietstelling om een schatting te geven van de kans ( ) 9 P N 9 i µ >. i wanneer gegeven is dat N,..., N 9 onafhankelijk en identiek verdeeld zijn met standaarddeviatie glas. Gebruik dat Φ(3).99865, waar Φ de cumulatieve kansverdelingsfunctie van de standaard normale verdeling is. (b) [7] De uitkomst van de enquête is dat er 48 glazen bier zijn gedronken. Geef aan hoe we hiermee het gemiddelde µ kunnen schatten, en wat de kans is dat deze schatting correct is. (a) [5] Geef de definitie van een Markovketen X (X n ) n N op een aftelbare toestandsruimte S. (b) [5] Geef een formule voor de kans P(X n j X i) dat een tijdshomogene Markovketen startend in i S na n stappen in j S is, gebruikmakend van de overgangsmatrix P (P ij ) i,j S. (8) [I] Zij X (X n ) n N een irreducibele en aperiodieke Markovketen op een eindige toestandsruimte S. (a) [5] Formuleer het bewijs van de convergentiestelling van X. Geef aan waar in het bewijs je gebruikt dat X Markov, irreducibel en aperiodiek is. Hint: Gebruik een koppeling van twee copieën X, X van X, de eerste startend in een willekeurige toestand x S, de tweede startend in de stationaire verdeling π op S. Plak X en X aan elkaar nadat ze elkaar ontmoeten, d.w.z. op tijdstip τ inf{n N : Xn Xn}. (b) [5] Is de stelling ook waar op een aftelbaar oneindige toestandsruimte? 3

4 OPLOSSINGEN () (a) De gevraagde kans is gelijk aan de kans dat precies een van de gebeurtenissen A c, B c en C c optreden. Deze kans volgt uit een Venn-diagram voor de gebeurtenissen A c, B c en C c, tezamen met het principe van inclusieexclusie: tel alleen die delen van het Venn-diagram die in precies een van de gebeurtenissen A c, B c en C c liggen. (b) Als P(A), dan geldt P(A B) P(B) P(A c B) P(B) P(A) P(B), waar we gebruiken dat P(A c B) P(A c ). Als P(A), dan geldt P(A B) P(A) P(B), waar we gebruiken dat P(A B) P(A). () Zijn X, X de supermarkten die ik op zaterdag en zondag bezoek. Dan geldt dus P(X J) 3, P(X AH) 3, (a) Bereken P(X J X J) 5, P(X AH X J) 4 5, P(X AH X AH) 4, P(X J X AH) 3 4. P(X J) P(X J X J) P(X J) + P(X J X AH) P(X AH) (b) Bereken, met behulp van de regel van Bayes, P(X AH X J) P(X AH, X J) P(X J X AH) P(X AH) P(X J) P(X J) 4

5 (3) (a) Bereken p X (k) k N C( )k C( ). k Derhalve geldt C. De moment-genererende functie is E(e tx ) k ( )k e tk e t et et en is eindig dan en slechts dan wanneer t < log. (b) Bereken f X (x) dx C x e x dx C x e x dx C waarbij we de transformatie van variable y x uitvoeren. geldt C. De moment-genererende functie is E(e tx ) x e x e tx dx e y dy C, Derhalve en is eindig voor alle t. De integraal kan worden uitgerekend, maar dat is niet nodig. (4) (a) Omdat P(X ) geldt P( < Y ). Voor de cumulatieve kansverdelingsfunctie van Y geldt derhalve F Y (y) voor y, F Y (y) voor y > en F Y (y) P(Y y) P(X /y) P(X < /y) F X (/y) ( y) y, < y. De stochast Y is dus uniform verdeeld op [, ]. (b) Het is evident dat p Z (m) voor m Z\N. Voor m N bereken p Z (m) p X,Y (k, l) 6π (m + ) 3 6π (m + ). k,l N k+lm k,l N k+lm Merk op dat m N p Z (m) omdat n N n 6 π. 5

6 (5) (a) De (marginale) kansdichtheidsfunctie van Y is f Y (y) voor y / [, ] en y f Y (y) f X,Y (x, y) dx 3(y x) dx + 3(x y) dx y 3z dz + y 3z dz 3 [y + ( y) ] voor y [, ]. Bereken hiermee de kansdichtheidsfunctie van X gegeven Y y als volgt: f X Y (x y) voor y / [, ] en f X Y (x y) f X,Y (x, y) f Y (y) voor y [, ]. [y + ( y) ] (b) Bereken E(X Y y) x f X Y (x y) [ y x(y x) dx + [y + ( y) ] [y + ( y) ] [ 3 y3 y + ]. 3 (6) (a) Definieer 9 y y x, x [, y], x y, x [y, ],, x / [, ], y ] x(x y) dx i Z 9 N i 9µ. 3 Volgens de centrale limietstelling is Z 9 bij benadering standaard normaal verdeeld. Ervan uitgaande deze benadering goed genoeg is (zonder extra informatie kunnen we dit niet nader kwantificeren), schatten we ( ) 9 P N 9 i µ >. P( Z n > 3) P( Z > 3) i e x / [ Φ(3)].7. π \[ 3,3] 6

7 (b) De enquête levert 9 9 i N i De kans is derhalve dat 5 7 µ >.. M.a.w. µ [5, 5 3 ] met kans (7) (a) X is Markov wanneer voor alle n N en i,..., i n+ S geldt P(X n i n+ X n i n,... X i ) P(X n+ i n+ X n i n ), m.a.w. de conditionele kansverdeling van X n+ gegeven X n,..., X (het verleden) hangt alleen af van X n (het heden). (b) Er geldt waarbij P n de n-de macht van P is. P(X n j X i) (P n ) ij, (8) (a) Zij P, de gezamenlijk kansverdeling van het paar (X, X ). Dan geldt P x (X n x) π n (x) P (X n x) P (X n x) P (X n x, τ > n) P (X n x, τ > n) P (τ > n). De eerste gelijkheid gebruikt dat, ondanks het feit dat we X en X aan elkaar plakken vanaf tijdstip τ, elk apart een copie van X is. Dit geldt vanwege de (sterke) Markoveigenschap van X. De tweede gelijkheid gebruikt dat P (X n X n n τ). Het rechterlid van bovenstaande formule is onafhankelijk van x. Het volstaat derhalve om aan te tonen dat P (τ < ) voor alle x S. Omdat S eindig is en X is irreducibel aperiodiek, bestaan er δ > en m N zodanig dat inf P x(x n ) > δ n m. x S Dit impliceert dat, ongeacht waar X en X zich bevinden op een gegeven tijdstip, ze een kans minstens δ hebben om elkaar te ontmoeten binnen m stappen. I.h.b. geldt dus P (τ (k + )m τ km) > δ, k N, waaruit weer volgt dat P (τ km) ( δ) k, k N. Laat nu k om te concluderen dat inderdaad P (τ < ) voor alle x S. (b) Nee. De stelling geldt alleen dan als X positief recurrent is, d.w.z. een invariante kansverdeling heeft. 7