Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening"

Timo Boer
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Kansrekening en Statistiek Overzicht Kansrekening 1 / 30

2 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). 2 / 30

3 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). Continue stochasten X - dichtheidsfuncties f P(X A) = f (x)dx. A 2 / 30

4 Overzicht: cumulatieve distributiefunctie Cumulatieve distributiefunctie voor discrete en continue stochasten X : F (x) = P(X x). 3 / 30

5 Overzicht: cumulatieve distributiefunctie Cumulatieve distributiefunctie voor discrete en continue stochasten X : F (x) = P(X x). Voor continue stochasten X : F (x) = x f (y)dy en de afgeleide van F is f : F (x) = f (x). 3 / 30

6 Overzicht: tellen Permutaties - combinaties 4 / 30

7 Overzicht: tellen Permutaties - combinaties Geordend - ongeordend 4 / 30

8 Overzicht: tellen Permutaties - combinaties Geordend - ongeordend Met terugleggen - zonder terugleggen 4 / 30

9 Overzicht: vereniging St. Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 5 / 30

10 Overzicht: vereniging St. Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 In het bijzonder: P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. 5 / 30

11 Overzicht: vereniging St. Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 In het bijzonder: P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. St. n P(A 1 A n ) = P(A i ) P(A i A j ) i=1 + 1 i<j<h n 1 i<j n P(A i A j A h ) / 30

12 Overzicht: vereniging St. Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) i=1 In het bijzonder: P(A B) = P(A) + P(B) als A en B disjunct. St. n P(A 1 A n ) = P(A i ) P(A i A j ) i=1 + 1 i<j<h n 1 i<j n P(A i A j A h ).... In het bijzonder: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 5 / 30

13 Overzicht: voorwaardelijke kansen Def. P(A E) = P(A E). P(E) 6 / 30

14 Overzicht: voorwaardelijke kansen Def. P(A E) = P(A E). P(E) Bij een stochast X met distributie/dichtheidsfunctie f, is de voorwaardelijke distributie/dichtheidsfunctie, gegeven E: 6 / 30

15 Overzicht: voorwaardelijke kansen Def. P(A E) = P(A E). P(E) Bij een stochast X met distributie/dichtheidsfunctie f, is de voorwaardelijke distributie/dichtheidsfunctie, gegeven E: f (x E) = { f (x) P(E) als x E 0 anders 6 / 30

16 Overzicht: voorwaardelijke kansen Def. P(A E) = P(A E). P(E) Bij een stochast X met distributie/dichtheidsfunctie f, is de voorwaardelijke distributie/dichtheidsfunctie, gegeven E: f (x E) = { f (x) P(E) als x E 0 anders Def. A en B zijn onafhankelijk als P(A B) = P(A) en P(B A) = P(B). 6 / 30

17 Overzicht: voorwaardelijke kansen Def. P(A E) = P(A E). P(E) Bij een stochast X met distributie/dichtheidsfunctie f, is de voorwaardelijke distributie/dichtheidsfunctie, gegeven E: f (x E) = { f (x) P(E) als x E 0 anders Def. A en B zijn onafhankelijk als P(A B) = P(A) en P(B A) = P(B). St. Als A en B onafhankelijk zijn, dan P(A B) = P(A)P(B). 6 / 30

18 Overzicht: partities St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). 7 / 30

19 Overzicht: partities St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). In het bijzonder: P(A) = P(A B) + P(A B). 7 / 30

20 Overzicht: partities St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). In het bijzonder: P(A) = P(A B) + P(A B). St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt: n P(A) = P(B i )P(A B i ). i=1 7 / 30

21 Overzicht: partities St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B n ). In het bijzonder: P(A) = P(A B) + P(A B). St. Als B 1,..., B n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt: n P(A) = P(B i )P(A B i ). i=1 In het bijzonder: P(A) = P(A B)P(B) + P(A B)P( B). 7 / 30

22 Overzicht: stelling van Bayes St. (Stelling van Bayes) Als H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt: P(H i E) = P(E H i)p(h i ) P(E) = P(E H i )P(H i ) n j=1 P(E H j)p(h j ). 8 / 30

23 Overzicht: stelling van Bayes St. (Stelling van Bayes) Als H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt: P(H i E) = P(E H i)p(h i ) P(E) = P(E H i )P(H i ) n j=1 P(E H j)p(h j ). In het bijzonder: P(H E) = P(E H)P(H) P(E) = P(E H)P(H) P(E H)P(H) + P(E H)P( H). 8 / 30

24 Overzicht: stelling van Bayes St. (Stelling van Bayes) Als H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan geldt: P(H i E) = P(E H i)p(h i ) P(E) = P(E H i )P(H i ) n j=1 P(E H j)p(h j ). In het bijzonder: P(H E) = P(E H)P(H) P(E) = P(E H)P(H) P(E H)P(H) + P(E H)P( H). St. (Stelling van Bayes bij uniforme verdeling) Als H 1,..., H n een partitie van de uitkomstenruimte is met een uniforme verdeling (P(H i ) = 1 n ), dan geldt: P(H i E) = P(E H i) P(E) = P(E H i ) n j=1 P(E H j). 8 / 30

25 Overzicht: Bayesiaans leren De uitkomstenruimte bestaat uit hypotheses. 9 / 30

26 Overzicht: Bayesiaans leren De uitkomstenruimte bestaat uit hypotheses. Bij nieuwe informatie worden de waarschijnlijkheden van de hypotheses aangepast volgens de formule (stelling) van Bayes. 9 / 30

27 Overzicht: Bayesiaans leren De uitkomstenruimte bestaat uit hypotheses. Bij nieuwe informatie worden de waarschijnlijkheden van de hypotheses aangepast volgens de formule (stelling) van Bayes. Zo worden a-priori waarschijnlijkheden tot a-posteriori waarschijnlijkheden. 9 / 30

28 Overzicht: Bayesiaans leren Als de uitkomstenruimte bestaat uit hypotheses H 1,..., H n en E is een gebeurtenis, dan is P(H i ) de a-priori waarschijnlijkheid van H i, P(H i E) de a-posteriori waarschijnlijkheid van H i, P(E H i ) de likelihood (aannemelijkheid) van E gegeven H i. 10 / 30

29 Overzicht: Bayesiaans leren St. Als de a-priori waarschijnlijkheid van een hypothese 0 is, dan is de a-posteriori waarschijnlijkheid dat ook. Hetzelfde geldt voor / 30

30 Overzicht: Bayesiaans leren St. Als de a-priori waarschijnlijkheid van een hypothese 0 is, dan is de a-posteriori waarschijnlijkheid dat ook. Hetzelfde geldt voor 1. St. Gegeven hypotheses H 1,..., H n. Als gebeurtenis E door geen van de hypotheses uitgesloten wordt, ( i P(E H i ) 0), dan is de a-posteriori (na E) waarschijnlijkheid van een hypothese 0 alleen dan als de a-priori waarschijnlijkheid 0 is. Hetzelfde geldt voor / 30

31 Overzicht: Bayesiaans leren St. P(H i E) P(H j E) = P(E H i)p(h i ) P(E H j )P(H j ). 12 / 30

32 Overzicht: Bayesiaans leren St. P(H i E) P(H j E) = P(E H i)p(h i ) P(E H j )P(H j ). In het bijzonder: als de a-priori waarschijnlijkheden uniform verdeeld zijn, dan P(H i E) P(H j E) = P(E H i) P(E H j ). 12 / 30

33 Overzicht: Bayesiaans leren St. Als voor hypotheses H 1,..., H n de likelihoods P(E H i ) gelijk zijn, dan zijn de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden. 13 / 30

34 Overzicht: Bayesiaans leren St. Als voor hypotheses H 1,..., H n de likelihoods P(E H i ) gelijk zijn, dan zijn de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden. St. Als de a-priori waarschijnlijkheden uniform verdeeld zijn, dan geldt P(E H i ) < P(E H j ) precies dan als P(H i E) < P(H j E) geldt. 13 / 30

35 Overzicht: Bayesiaans leren St. Als voor hypotheses H 1,..., H n de likelihoods P(E H i ) gelijk zijn, dan zijn de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden. St. Als de a-priori waarschijnlijkheden uniform verdeeld zijn, dan geldt P(E H i ) < P(E H j ) precies dan als P(H i E) < P(H j E) geldt. St. Laat P 0 (H i ) = P(H i ) en P h+1 (H i ) = P h (H i E). Als voor alle h k, dan P h (E H i ) P h (E H j ) = x P k (H i ) P k (H j ) = x k P(H i) P(H j ). 13 / 30

36 Finis 14 / 30

Vergelijkbare documenten

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft