Maak dit n kwadratiese vergelyking deur =0 aan die regterkant by te sit: 2x

Transcriptie

1 VIERKANTSVOLTOOIING Jy het al verskeie maniere teëgekom waarmee jy kwadratiese vergelykings kan oplos, en een wat jy dalk nog nie gesien het nie, en wat ook goed werk, staan bekend as vierkantsvoltooiing. Jy moet egter n drieterm se vierkant kan voltooi, sonder dat dit in n vergelyking vir jou gegee word, en net om die basis te lê gaan ons wegspring deur n kwadratiese vergelyking te herskryf met behulp van vierkantsvoltooiing. Eerstens, onthou om die terme wat vir jou gegee word in twee groepe te skei een vir die terme wat x bevat aan die linkerkant, en die gewone getalle aan die regterkant. Indien nodig deel ook regdeur met n spesifieke getal om die koëffisiënte van die kwadratiese terme gelyk aan 1 te kry. Gestel jy word gegee: x 4x 40. Maak dit n kwadratiese vergelyking deur =0 aan die regterkant by te sit: x 4x 40 0 Dan deel ons regdeur met : x x 0 0 Vat die gewone getalle dan oor na die regterkant, maar los n spasie aan die linkerkant waar dit gestaan het: x x 0 Binne die spasies sit jy dan nou leë hakies wat gekwadreer is, en ONTHOU om dit aan die regterkant ook te doen: x x ( ) 0 ( ) Neem nou die helfte van die koëffisiënt van die x-term en sit dit binne die hakies: x x ( ) 40 ( )

2 Wat jy met ander woorde nou het aan die linkerkant is n drieterm wat n perfekte vierkant is, en dit kan dienooreenkomstig gefaktoriseer word: x 1 41 Bring nou die regterkant terug na die linkerkant, en los die =0 om weg te raak: x 1 41 Met vierkantsvoltooiing kan ons dan n drieterm soos ax bx c herskryf in die vorm a x p q LET WEL: n Volkome vierkant kan altyd as ( ) geskryf word. Bv. 16 = 4 6x 9 x 3 10y 5 y 5 x y ens. Voorbeelde In hierdie voorbeelde word jy nie n volledige drieterm gegee nie, dus moet jy onthou om net die derde term te bepaal en dus van die drieterm n volkome vierkant te maak. Maak gebruik van die tegnieke soos hierbo bespreek, deur die helfte van die middelste getal te vat, en te kwadreer...dit is regtig so maklik soos dit! a) x x... b) a 3a... c) y 8y... d) c 1cd...

3 Voorbeeld Voltooi die vierkant van die volgende kwadratiese uitdrukking deur die volledige tegniek, soos vroeër bespreek, toe te pas x 3x 8

4 MAKSIMA EN MINIMA AFGELEI VAN: a x p q As jy die vergelyking van n parabool sou neem, en die y = gedeelte laat wegval, en eerder n =0 aan die regterkant sit, kan jy die vergelyking van die parabool se vierkant voltooi, en die vergelyking in hierdie vorm skryf: a x p. q Sit nou net weer die y= gedeelte terug, en die parabool se vergelyking verander van y ax bx c na y a x p q Wat kry jy uit hierdie vorm van die vergelyking? Wat kry jy uit hierdie vorm van die vergelyking? Stel y = 0 om die x- afsnitte deur faktorisering te bepaal Stel x = 0 om die y-afsnit se waarde te bepaal (die waarde van c) Bepaal die as van simmetrie met die b formule x a Bepaal die koördinate van die draaipunt deur die as van simmetrie in die oorspronklike vergelyking te vervang Stel y = 0 om die x- afsnitte deur faktorisering te bepaal Stel x = 0 om die y-afsnit se waarde te bepaal (die waarde van c) Die as van simmetrie is die waarde van p. Onthou, as daar bv. Staan (x + 3), dan is die waarde van p = -3, om die + te kon veroorsaak het Die y-koördinaat van die draaipunt is die waarde van q

5 Onthou: Dus, as jy kyk na die teken van die getal voor die hakie, sal jy alreeds weet of die vergelyking n maksimum- of minimumwaarde het, die waarde van q in die vergelyking gee vir jou hierdie maksimum of minimum, en die waarde van p gee vir jou die x-waarde wat hierdie maksimum- of minimumwaarde laat gebeur. Voorbeeld Doen die volgende vir elkeen van die vrae: a) Skryf die volgende uitdrukkings in die vorm a x p (indien nodig) q b) Het die uitdrukking n maksimum of n minimum? 1) 3x 6x ) x 5 3) 3 x 8 4) 6 x 11

6 PRAKTIESE TOEPASSINGS Die vermoë wat jy nou het om n kwadratiese uitdrukking (drieterm) met vierkantsvoltooiing te herskryf het baie moontlikhede. Kom ons kyk na n paar van hulle: Voorbeeld Bewys dat 3 x 4 n maksimumwaarde van -4 het (bepaal die draaipunt se koördinate) Voorbeeld Die reghoeksye van n reghoekige driehoek is (4 x) en ( + x) a) Skryf die oppervlakte van die driehoek itv x neer. b) Wat is die maksimumoppervlakte as x = 1?

7 Voorbeeld: Toon dat x x 1altyd positief is vir alle reële waardes van x. Voorbeeld: n Boer het 100 meter ogiesdraad waarmee hy n reghoekige hoenderhok wil bou. Hy beplan om twee bestaande aangrensende sye vir die reghoekige omheining te gebruik. a) Bepaal n formule vir die ingeslote oppervlakte in terme van x. b) Bepaal die afmetings wat die maksimum ingeslote oppervlakte sal gee.