UITWERKINGEN. bij. reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, meetkunde:

Transcriptie

1 UITWERKINGEN bij reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, meetkunde: Blokkenbouwsels, voor- en zijaanzichten, hoogtekaart Viseren en projecteren Bouwplaten Symmetrie Namen en eigenschappen van figuren Plattegronden en routes Constructies met passer en liniaal Bij deze reader wordt veelvuldig verwezen naar het boek: Meten en Meetkunde, ThiemeMeulenhoff, Van Zanten e.a. isbn: tot de inhoud van de stof hoort ook het boekje Meetkundige begrippen en kenmerken van figuren. ( N@tschool ). Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 1

2 Inhoud Inleiding PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde H1: Blokkenbouwsels, voor- en zijaanzichten, hoogtekaart (bouwplattegrond)... 4 H2: viseren en projecteren (kijklijnen en schaduwprojecties) H3: Bouwplaten H4: symmetrie: lijn- en puntsymmetrie H5: namen en eigenschappen van figuren(2d) en objecten(3d) Deel 1: platte figuren Deel 2: ruimtelijke figuren H6: Plattegronden, routes (richting en afstand) H7: De cirkel. Eenvoudige constructies met passer en liniaal H8: Gevarieerde opgaven Bijlage 1: Begrippenlijst Geen antwoorden in het antwoordenboekje. Probeer deze begrippen zelf te omschrijven Bijlage 2 (uit Kennisbasis): Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 2

3 Inleiding PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde. Welkom in de wereld van de meetkunde! Het domein waar de wiskunde is ontstaan. Vanuit de behoefte om de wereld om ons heen te beschrijven en te begrijpen heeft het vak wiskunde zich in vele richtingen ontwikkeld. In deze cursus krijg je een overzicht van meetkundige onderwerpen en leer je de reguliere meetkundige problemen op het niveau van groep 8+ oplossen en begrijpen. Ter voorbereiding op de landelijke kennisbasistoets leer je bovendien de verschillende definities en eigenschappen van meetkundige figuren en vormen. Tot slot leer je om met passer en liniaal loodrechte lijnen (hoek van 90 ), rechthoeken en driehoeken te construeren. Door de opgaven te maken en met je medestudenten en te bespreken met de docent krijg je meer greep op de enorme variëteit aan meetkundige problemen. Een goede kennis en een beter inzicht in ruimtelijke kenmerken en relaties helpen je verder in je ontwikkeling van je professionele gecijferdheid. Wij wensen je veel plezier met het ontwikkelen van jouw meetkundige kennis en vaardigheden. Docenten Rekenen & Wiskunde (1) bij H7 heb je een passer nodig Let op: (2) Bij deze cursus hoort ook het boekje dat op staat Meetkundige begrippen en kenmerken van figuren. (3) In deze reader wordt veelvuldig gewerkt met teksten en opgaven uit het boek Meten en Meetkunde, ThiemeMeulenhoff, isbn: De opdrachten waarbij dit boek nodig is worden aangegeven met het icoontje opdracht 0.1: blz : Lees paragraaf 3.1 Meetkunde is overal. Beantwoord de volgende vragen: 0.1. a: Waarom beslaat de zonnewijzer maar een halve cirkel i.p.v. een hele cirkel? Hier loopt de klok van 6 uur s ochtends tot 6 uur s avonds. Daarna is het nacht. Afhankelijk van de plek op de aardbol en het seizoen blijft de zon langer schijnen of korter. Zo komt het voor in gebieden in de buurt van de Noordpool, dat het in een bepaalde periode 24 uur licht blijft! 0.1. b: Waar komt bij ons in Nederland de zon op? In het oosten (dan wijst de schaduw dus naar het westen) 0.1. c: Kun jij op de plek waar jij nu bent, direct het noorden aanwijzen? Bij mij hangt het af van de plek waar ik ben. Als het een onbekende plek is, lukt het mij meestal niet. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 3

4 H1: Blokkenbouwsels, voor- en zijaanzichten, hoogtekaart (bouwplattegrond) opdracht 1.1: Blz. 28 maak opgave 1, Rekenrijk groep 4: Toelichting: het plaatje bij elke verrekijker kun je beschouwen als een aanzicht. Zo zal Anneke een bovenaanzicht zien van het gebouw linksboven. Je mag er hier van uitgaan dat er geen verborgen blokje achter het huis staat. Anneke ziet dus g. Puzzel uit: welke persoon hoort bij welke verrekijker? Is er bij elke persoon een kloppend plaatje? Zitten er verrekijkerplaatjes bij die NIET bij een persoon horen? Antwoord: persoon Anneke Ko Willemien Gerrit Elly Martien Annemiek Marjan Leny Kijker g f? d e f a b h? i Misschien zijn het drukfoutjes, maar dat is wel een goede oefening in redeneren en begrijpen. Ko ziet eigenlijk f maar dan 180 gedraaid (c is fout voor Ko) en Marjan ziet h maar dan 180 gedraaid. Bekijk het blokkenbouwsel hiernaast en lees de definitie: Een blokkenbouwsel bestaat uit kubusvormig blokken. In een blokkenbouwsel zijn de grondblokken met elkaar verbonden (minimaal één zijvlak tegen een ander blok.) Bekijk de bijbehorende hoogtekaart (bouwplattegrond). Een hoogtekaart van een blokkenbouwsel is een rechthoekig schema waarin de onderste bouwlaag is ingetekend met daarin van elke bouwlaag de hoogte. Een hoogtekaart wordt ook wel (bouw-)plattegrond genoemd voor opdracht 1.2.a: Controleer de hoogtekaart. De 1 in het vakje rechtsonder betekent dat op dat plekje maar 1 blokje staat. Op het plaatje van het bouwsel is dat het voorste blokje in de hoek. Het zwarte pijltje op het plaatje van het bouwsel geeft de voorkant aan. Die correspondeert met het woordje voor op de hoogtekaart. Verklaar waarom in het hokje rechtsboven geen getal staat. Antwoord: Op dat plekje staat geen blokje zie Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 4

5 vooraanzicht rechterzijaanzicht achteraanzicht linkerzijaanzicht Bekijk bovenstaande aanzichten die horen bij het gebouw van opdracht 1.2. Een zijaanzicht is een silhouet tekening van hoe het gebouw eruit ziet als je vanaf die ene kant kijkt, zonder diepte in de tekening. Je kunt het zien als de contouren van het gebouw. opdracht 1.2.b: Op het linkerzijaanzicht zie je helemaal links een kolom van 3 hokjes hoog. Kun jij op het plaatje van het bouwsel aanwijzen welke toren daar de oorzaak van is? Zie opdracht 1.2.c: - Geef aan waarom de hoogtekaart die je hier naast ziet NIET één bouwsel representeert! (tip: lees de definitie van een bouwsel nog eens goed ) In een blokkenbouwsel staat elk blok met minimaal één zijvlak tegen een ander blok en dat is hier NIET zo. - Hoeveel bouwsels zie je op deze hoogtekaart? 3 bouwsels Let op: bij het analyseren van de bouwsels moet je ervan uitgaan dat er nooit meer blokken zijn dan je ziet en die er logischer wijs moeten staan (er zijn geen zwevende etages!) voor opdracht 1.3: Blz. 28 maak opgave 1b, Wereld in Getallen, groep 4: Welke plattegrond hoort bij welk gebouw? gebouw A B C plattegrond Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 5

6 opdracht 1.4: Blz. 29 maak opgave 3, Rekenrijk groep 5: Teken op onderstaand ruitjespapier de hoogtekaarten/plattegronden van gebouw a, b en c. Gebouw a: gebouw b: gebouw c: opdracht 1.5: Blz. 30 maak opgave 2, Wereld in Getallen, groep 6: Je ziet een kasteel in de mist (dus de contouren van het gebouw). Welk kasteel is het, a, b of c? Antwoord: C opdracht 1.6: 1.6.a Teken de hoogtekaart: voor 1.6.b Teken de vier zijaanzichten: voor rechts achter links Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 6

7 Opdracht 1.7: 1.7.a Teken de hoogtekaart: voor 1.7.b Teken de vier zijaanzichten: voor rechts achter links Opdracht 1.8: 1.8.a 1.8.b Hoeveel blokken in het bouwsel? Je kunt de hoogtekaart tellen: 14 Hoeveel blokken moet je aan het bouwsel toevoegen om er een kubus van te maken? (zie H5 voor eigenschappen van een kubus.) Bij een kubus zijn alle ribben even groot. Het wordt een kubus van 4 x 4 x 4. Ik tel met de hoogtekaart hoeveel er bij moeten: voor Ik controleer: kubus van 4 bij 4 bij 4 heeft 4x4x4=64 blokken. Het bouwsel heeft er 14. Er moeten er dus nog 50 bij. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 7

8 Opdracht 1.9: Hiernaast zie je de hoogtekaart van een bouwsel: a Teken de 4 zijaanzichten van dit bouwsel voor 1.9.b voor rechts achter links Hoeveel blokken kan je uit het bouwsel wegnemen, zonder dat de zijaanzichten van het bouwsel veranderen? Geef de weg te nemen blokken in de hoogtekaart aan. Er zijn meerdere manieren. De 5, 4 en 3 moeten in ieder geval blijven staan. Het moet wel een bouwsel blijven, dus de blokken moeten verbonden blijven. Als ik alle rode weghaal, dan moet de groene 2 blijven staan. Ik kom op 8 weg te halen blokjes. Misschien is er nog een slimmere variant. ik hou me aanbevolen! Opdracht 1.10: Hiernaast zie je de hoogtekaart van een bouwsel: a Teken de 4 zijaanzichten van dit bouwsel voor voor rechts achter links 1.10.b Hoeveel blokken kan je aan het bouwsel toevoegen, zonder dat de zijaanzichten van het bouwsel veranderen? Geef de plaats van de toe te voegen blokken in de hoogtekaart aan. Misschien denk je dat er niks bij kan. Voor de hokjes waar al wat staat klopt dat ook, maar de lege hokjes kun je nog wel vullen. Zie de rode cijfers wat nog toegevoegd kan worden. Het zijn er c Hoeveel blokken moet je aan het bouwsel toevoegen om er een balk van te maken? (zie H5 voor eigenschappen van een balk.) De balk moet 3 breed, 3 hoog en 4 lang worden. Dat zijn totaal 3 x 3 x 4 = 36 blokjes. Ik tel uit de hoogtekaart 10 blokjes die er al staan. Er kunnen er dus 26 bij. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 8

9 Opdracht 1.11: 1.11.a Teken een hoogtekaart van het bouwsel b voor Teken de vier zijaanzichten van het bouwsel. voor rechts achter links 1.11.c Hoeveel blokken heb je nodig om het bouwsel één laag hoger te maken, met behoud van het bouwpatroon? Beetje misleidend dat het grijze grondplaatje suggereert dat je niet wijder mag bouwen. Dat mag namelijk wel. Er komt één bodemlaag onder van 1 blok, dus alle torens gaan 1 laag omhoog. Zie bijbehorende hoogtekaart. Er komen = 15 blokjes bij d Hoeveel blokken moet je aan het bouwsel toevoegen om er een kubus van te maken? Het oorspronkelijke bouwsel bestaat uit 20 blokken. De kubus wordt 4 x 4 x 4 = 64 blokken. Er moeten er dus nog 44 bij. 1 voor Opdracht 1.12: Dit is de maquette van een museum. Vanuit welke richting is deze foto van de maquette gemaakt? Antwoord: vanuit het noorden (vanaf de achterkant dus) Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 9

10 Opdracht 1.13: Hier zie je het achteraanzicht en het rechterzijaanzicht van een blokkenbouwsel. Teken de hoogtekaart van het blokkenbouwsel en gebruik zo min mogelijk blokken. Achter Rechts Voor Voor Voor Meerder oplossingen mogelijk. Let op dat het één bouwsel moet zijn, d.w.z. dat de blokken op de begane grond wel verbonden moeten blijven. Ik kom op 10 blokjes. Voor meer oefeningen met blokkenbouwsels: Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 10

11 H2: viseren en projecteren (kijklijnen en schaduwprojecties) Nodig: spiegeltje, zaklamp, liniaaltje opdracht 2.1.a: blz. 122 bekijk het plaatje over blinde vlek en schaduw. Het begrip viseren gaat over kijklijnen. De schaduw betreft hier een projectie. Omschrijf kort de relatie tussen kijklijnen en de projectie van een schaduw. Licht plant zich voort in een rechte lijn. Bij viseren/kijklijnen redeneer je hoe het licht van een bepaalde plek naar de ogen komt, bij schaduwprojectie kijk je hoe het licht van de lichtbron naar die bepaalde plek komt. Dus eigenlijk is een KIJK-lijn hetzelfde als de PROJECTIE-lijn, alleen de richting is net andersom. opdracht 2.1.b: Bekijk een herkenbare vakantiefoto bij de toren van Pisa. Het lijkt net of het paar de toren ondersteunt. Geef een verklaring voor dit gezichtsbedrog en gebruik daar het woord kijklijnen bij. En probeer met een schetsje de situatie te tekenen bij deze foto: de toren en de handen zijn getekend.waar op de stippellijn moet de fotograaf gestaan hebben?? Op de plek van het sterretje. Toren van Pisa opdracht 2.2: Strek je arm en kijk met alleen je rechteroog naar je duim. Mik je duim op een voorwerp in de klas. Verwissel dan van kijk-oog (sluit je rechteroog en kijk met je linkeroog). Is het voorwerp nu verschoven t.o.v. je duim? Zo ja, naar links of naar rechts? Leg uit met een constructietekening. Het voorwerp LIJKT naar links verschoven. Je kunt ook zeggen dat je duim naar rechts is verschoven. Maar EIGENLIJK zijn het voorwerp en je duim niet verschoven maar je gezichtspunt: het standpunt waarvandaan je kijkt is naar links verschoven. Zie tekening de zwarte lijn is als je met het rechteroog kijkt. De rode lijn is als je met je linker oog naar het voorwerp kijkt. De duim lijkt dan naar rechts verschoven. Of het voorwerp lijkt naar links verschoven t.o.v. je duim. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 11

12 opdracht 2.3: Blz. 41 maak opgave Wizwijs, groep 4: Verbind de concrete zichtbare situatie uit de middelste kolom met de bijbehorende schaduw en met het bijbehorend silhouet. schaduw Concrete situatie silhouet opdracht 2.4: Bekijk het filmpje: Beantwoord nu ook de volgende vragen: Ga een ongeveer een meter voor een muur staan. Laat een medestudent jouw schaduw projecteren op de muur. 2.4.a: (eerst voorspellen, dan doen, dan verklaren met een tekening:) Om jouw schaduw GROTER te maken moet de zaklamp dan verder van jou weg of dichter naar jou toe? Laat met een tekening zien. Lamp dichter naar je toe geeft grotere schaduw, zie tekening: blauwe lijn is verder weg, rode lijn is dichterbij. 2.4.b: (eerst voorspellen, dan doen, dan verklaren met een tekening:) Om jouw schaduw GROTER te maken moet de zaklamp dan LAGER gehouden worden of HOGER? Laat met een tekening zien. Als de afstand hetzelfde blijft, wordt je schaduw NIET groter of kleiner. Wat wel gebeurt: als de lamp lager, dan komt de schaduw HOGER, als de lamp hoger, dan komt de schaduw LAGER. Het betreft hier de schaduw op de muur. Bij schaduw op de grond (hoek van 45 met jou) wordt schaduw wel langer als je de lamp naar beneden beweegt en korter als je de lamp omhoog beweegt. opdracht 2.5: Blz. 138: maak opgave bovenaan, Alles Telt, groep 7: Construeer met een liniaaltje en potlood het precieze punt in de rij mensen waar de scheiding ligt tussen de mensen die de toren WEL zien en de mensen die de toren NIET zien. Trek met een liniaaltje een rechte lijn van de punt van de toren langs de linkerbovenhoek van de flat en kijk waar die lijn uitkomt in de menigte Ik denk dat alleen de laatste 4 á 5 groen gekleurd kunnen worden. opdracht 2.6 Blz. 139: maak opgave Alles Telt, groep 7: Als je langs een lantaarnpaal loopt beweegt de schaduw over de grond. In deze opgave loopt een meisje naar de lantaarnpaal, passeert de lantaarnpaal en loopt er weer vandaan. Zet de plaatjes (van a t/m f) op de goede volgorde: De juiste volgorde is: b d f a c e opdracht 2.7: Bekijk de opgave hieronder. Construeer met liniaal en potlood de exacte positie waar de wandelaar het fietsrek NIET meer kan zien. Net iets voorbij punt 2. Zie rode lijn. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 12

13 A Opdracht 2.8: Hieronder zie je twee paaltjes en hun schaduw van een lantaarnpaal. Teken (construeer) de precieze plaats waar de lamp van de lantaarnpaal zich moet bevinden en zet daar een stip met letter L. L opdracht 2.9: 2.9: Blz. 14: Bekijk de foto met het woord LIJNBUS op de straat. De fotograaf bekijkt dit woord nu van de zijkant en eigenlijk is het woord LIJN nu niet echt duidelijk leesbaar. Normaal ziet de verkeersdeelnemer het woord van onderaf. De horizontale lijnen zijn veel dikker dan de verticale lijnen. Voor hem is het woord dat wel goed leesbaar. Verklaar waarom afbeeldingen en teksten op de straat altijd VERDIKTE horizontale lijnen hebben. Vergelijk de situatie met de schaduwen en de paaltjes in opdracht 2.8. Het perspectief veroorzaakt dat de lijnen dwars op de kijkrichting DUNNER lijken dan de lijnen in de kijkrichting. Daarom worden ze DIKKER getekend, zodat de kijker uiteindelijk even dikke lijnen denkt te zien. Door ze dikker te tekenen wordt de vervorming gecompenseerd. opdracht 2.10: Bekijk nevenstaand plaatje. Er staan twee (Engelse)woorden door elkaar. Hou het papier schuin en bekijk het plaatje van twee kanten A en B. - Wat lees je als je vanuit A kijkt? ESTATAL - Wat lees je als je vanuit B: kijkt? EDITORIAL B Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 13

14 H3: Bouwplaten Benodigdheden: - Polydron materiaal of papier en een schaartje - werkblad rooster opdracht 3.1: De meest bekende uitslag van een kubus is het kruis hiernaast: Er zijn echter nog tien andere mogelijke verschillende uitslagen van een kubus te maken. Probeer ze alle tien te vinden. Let op: verschillend betekent dat de uitslagen niet door draaien en/of spiegelen gelijk zijn aan een van de andere uitslagen. (Gebruik eventueel het polydron materiaal om de testen of jouw uitslag klopt of knip de bouwplaat uit papier en probeer hiervan te vouwen.) 3.1.a: 3.1.b: 3.1.c Hoeveel vlakjes heeft elke bouwplaat? 6 (een kubus heeft 6 vlakken) Teken het complete overzicht van de 11 bouwplaten zonder plakrandjes. Oefen met elke bouwplaat hoe de vlakjes tegen elkaar komen; bekijk bij elke bouwplaat welke zijdes tegenover elkaar komen te liggen. Kleur in elke bouwplaat de tegenoverliggende vlakjes met eenzelfde kleur. Zie voorbeeld afb.1. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 14

15 opdracht 3.2: Blz. 32: maak opgave AllesTelt, groep 6: Let op. hoeveel vlakken heeft een doos zonder deksel? 5 De juiste bouwplaten zijn: B, C, D, E, F, G, H opdracht 3.3: Blz.37: maak opgave1 uit AllesTelt, groep 8: Als het nog niet lukt met mentaal redeneren, pak dan een echte bouwplaat erbij en probeer een en ander te vouwen. Het juiste antwoord is: bouwplaat B opdracht 3.4: Blz.37: maak opgave 2 uit AllesTelt, groep 8: Als het nog niet lukt met mentaal redeneren, pak dan een echte bouwplaat erbij en probeer een en ander te vouwen. Het juiste antwoord is: bouwplaat C opdracht 3.5: Blz. 134: maak opgave middenin uit Pluspunt, groep 4: 1 hoort bij C 2 hoort bij A 3 hoort bij B opdracht 3.6: FLITSEN! Kun jij heel snel zien welke bouwplaten NIET een kubus maken? Antwoord: van de volgende bouwplaten kan geen kubus gemaakt worden: nummers: 2, 5, 8 opdracht 3.7: Een kubus is voor de helft in verf gedompeld. Van deze kubus staan hierboven vier bouwplaten. Daarin is het gekleurde grondvlak al donker aangegeven. Maak de bouwplaten af door ze op de juiste wijze verder te kleuren. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 15

16 opdracht 3.8 Hiernaast zie je een kubus met een mooi rood lint erom. (Bedenk eerst waar het lint zit op de vlakken die je nu niet ziet!) Teken een bouwplaat (zonder plakrandjes) van de kubus met ribben van 2 cm. Teken hierop ook het lint. Er zijn meerder varianten mogelijk, hier is er één opdracht 3.9 Welke kubus (A, B, C of D) kan je van de bouwplaat maken? Antwoord: D A B C D Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 16

17 opdracht 3.10 Hiernaast zie je een papieren kubus met een ribbe van 4 cm. Eén hoekpunt is er op de middens van de ribben afgeknipt. Teken een bouwplaatje op ware grootte van dit figuur. Er zijn meerder varianten mogelijk, hier is er één. De oranje hoekjes zijn weggeknipt. opdracht 3.11 Teken in de bouwplaten hiernaast een dobbelsteen met de ogen op elk zijvlak. Onderzoek bij een echte dobbelsteen wat de som van de ogen is van twee tegenover elkaar liggende zijden! Je moet weten dat de som van de tegenoverliggende zijdes altijd 7 is! opdracht 3.12 Tom verft alle vlakken van dit blok hout, ook de boven- en de onderkant. Daarna zaagt hij het blok langs alle lijnen om kleine kubussen te krijgen. Neem als voorbeeld RUBIC s cube 3.8.a 3.8.b 3.8.c Hoeveel van deze blokjes zijn aan 1 kant geverfd? 6, het middelste blokje in elk vlak. Hoeveel van deze blokjes zijn aan 2 kanten geverfd? 12, het middelste blokje in elke ribbe. Hoeveel van deze blokjes zijn aan 3 kanten geverfd? 8, het aantal hoekpunten Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 17

18 opdracht 3.13 Hoeveel witte en hoeveel bruine kubusjes? Tel witte blokjes: in ieder geval alle middelste in elke ribbe, dus 12 Bruine blokjes: alle hoekpunten (8) plus alle middelste in elk vlak (6) maakt samen 14. Totaal moet het 27 zijn (3 x 3 x 3); ik tel nu samen 26?? Het blokje dat middenin de kern zit is nog niet mee geteld! Welke kleur? op grond van de regelmaat zal dat WIT zijn. Dus 13 witte en 14 bruine. opdracht 3.14: FLITSEN! Kun jij heel snel zien welke bouwplaten NIET een kubus maken? C D A F B E Van de volgende bouwplaten kan geen kubus gemaakt worden: B, C, E, F Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 18

19 H4: symmetrie: lijn- en puntsymmetrie Nodig: spiegeltje opdracht 4.1: Blz. 3: opgave 1 uit Wereld in Getallen, groep a 4.1.b kun je met een spiegel de zwemband en de schep weer heel maken? Spiegeltje verticaal op het plaatje en je ziet een complete zwemband (maar wel met 2 ventieltjes!) Kun je van de 3 ballen met een spiegel er vier maken? Zet spiegel over twee ballen (en dan precies door het midden van die ballen) en je ziet er vier. opdracht 4.2: Bekijk de driehoekfiguurtjes a t/m h hieronder. Elk van deze figuurtjes kun je maken door in figuur 1 een spiegel op een speciale plek te zetten. Bijvoorbeeld als ik de spiegel op de aangegeven stippellijn zet, dan kan ik b zien. Maar ook e! als ik de spiegelzijde aan de andere kant hou. Los op voor alle overige figuren. Schets hier hoe je de figuren maakt: a c d f g h Het blauwe pijltje geeft aan in welke richting je in de spiegel kijkt. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 19

20 opdracht 4.3: Blz. 4: maak opgave 1a. uit Wereld in Getallen, groep 6: Teken in elk van de onderstaande plaatjes waar je het spiegeltje zet: Vierkant met oppervlakte van. 16 cm 2 4 x 4 9 cm 2 3 x 3 4 cm 2 2 x 2 Driehoek met oppervlakte van. 16 cm 2 8 cm 2 4,5 cm 2 Toelichting; groep 6!? opdracht 4.4: Blz. 25: Maak opgave uit Wizwijs, groep 7: Teken wat je ziet in spiegel 1, 2 en 3 Spiegel 2 Spiegel 1 Spiegel 3 opdracht 4.5: Blz. 127: maak opgave c uit Wis en Reken, groep 4: probeer zonder spiegel te beredeneren hoe je het poppetje rechtop kan zetten, d.w.z. het spiegelbeeld staat rechtop. Controleer daarna met een spiegeltje. De spiegel moet in een hoek van 45 neergezet worden. opdracht 4.6: Blz : Lees paragraaf 3.4.3: Transformeren in de bovenbouw over puntsymmetrie en lijnsymmetrie en gelijkvormigheid en beantwoord de volgende vragen: 4.4.a noem 6 verschillende soorten transformaties. Spiegelen, roteren(draaien), omvormen, verschuiven, vergroten en verkleinen 4.4.b geef in eigen woorden weer wat wordt verstaan onder een symmetrieas. Een spiegellijn waarbij beide helften precies op elkaar vallen; een vouwlijn zodat de ene kant precies op de andere kant valt. 4.4.c Heeft de hoofdletter H symmetrieassen? Zo ja, hoeveel? Ja, d Is de hoofdletter H punt symmetrisch? Ja, om het snijpunt van beide spiegellijnen Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 20

21 Soorten symmetrie: Een figuur noemt men symmetrisch als men er een bewerking op kan uitvoeren, die de figuur met zichzelf tot dekking brengt. Dus de oorspronkelijke figuur en de na bewerking verkregen figuur vallen geheel samen. In het platte vlak kennen we twee typen symmetrie-operaties: 1. (a) spiegelen t.o.v. een lijn Bij spiegelsymmetrie zijn de gelijkvormige delen gespiegeld. a. In de afbeelding is een lijn (of meer lijnen) te vinden waarop je de figuur kunt vouwen. De delen vallen dan precies op elkaar. Deze lijn is de spiegel-as of symmetrieas. Plaats je een spiegel op deze as dan vormen origineel en beeld samen de afbeelding. b. Plaats je een spiegel naast de afbeelding (evenwijdig aan de symmetrieas) dan zijn het origineel en beeld ook hetzelfde. 2. draaien om een punt Bij draaisymmetrie zijn de gelijkvormige delen gedraaid. a. Bij draaisymmetrie is er een draaipunt, het centrum van de symmetrie en een draaihoek. Je kunt immers ook over een ander aantal graden dan 180 draaien. Het centrum van de draaisymmetrie is het punt waar je denkbeeldig een speld prikt. Draai dan de afbeelding totdat het beeld en origineel samenvallen. De draaihoek geeft aan hoeveel graden er gedraaid moet worden om origineel en beeld te laten samenvallen. b. Draaisymmetrie met een draaihoek van 180 noemen we ook een puntspiegeling. In de ruimte kunnen we ook spreken van spiegelen in een vlak en draaien om een lijn. Hier gaan we niet veel dieper op in, behalve het onderzoeken van spiegelvlakken bij de basisvormen kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol. opdracht 4.7: Blz.5: Lees spiegelen groep 6 tot en met 8. a) Als je dichter bij een spiegel gaat staan, krijg je dan méér of minder van jezelf te zien, of maakt het niet uit? Probeer het eerst maar eens uit. Kun je een verklaring geven met kijklijnen? Het maakt niet uit, je blijft evenveel zien van jezelf. (uitproberen!) Zie plaatje Toelichting: bij dit plaatje is de spiegel precies groot genoeg om jezelf van kruin tot teen te zien. b) Geef een verklaring: als jouw horloge bij jou om je linker pols zit waarom zit dat horloge bij jouw spiegelbeeld dan om zijn/haar rechterpols? (tip: wat wordt er eigenlijk gespiegeld met een spiegel?) De spiegel spiegelt de voorkant en de achterkant. Aangezien het begrip links afhankelijk is van wat de voorkant is, zijn bij het spiegelbeeld links en rechts verwisseld. opdracht 4.8: Kijk naar het hoofdje hiernaast. Teken het resultaat na twee keer spiegelen. Eerst in lijn a en dan in lijn b. a Had je dit resultaat ook kunnen krijgen met een puntspiegeling? Zo ja, waar zit dan het centrum en wat is de draaihoek? b Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 21

22 Het is een puntspiegeling om het snijpunt van beide spiegellijnen. Een draaihoek van 180. Voorbeelden van symmetrie: 1. Spiegelsymmetrie. We gaan eens kijken naar de letter A. Ten opzichte van de getekende stippellijn kunnen we de letter A spiegelen. De gespiegelde linker helft van de A valt dan samen met de rechter helft van de A en omgekeerd. De stippellijn heet dan spiegellijn. 2. Draaisymmetrie. Nemen we de letter S, dan krijgen we te maken met een andere symmetrie-operatie. Als we de S om het punt 1 draaien over 180 o, dan valt de gedraaide letter geheel samen met de oorspronkelijke letter. Dit punt heet het tweetallige draaipunt. We noemen de S een figuur dat draaisymmetrisch is van orde 2. opdracht 4.9: Omcirkel het juiste antwoord. (Zie Hoofdstuk 5 voor de begrippen gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, parallellogram, rechthoek en trapezium.) 1. Wat voor symmetrie bevat de letter N? a. een spiegellijn b. een draaipunt c. geen symmetrie 2. Wat voor symmetrie bevat de de letter p? a. een spiegellijn b. een draaipunt c. geen symmetrie 3. Wat voor symmetrie bezit een gelijkbenige driehoek? a. een gelijkbenige driehoek bezit geen symmetrie. b. een draaipunt. c. een spiegellijn. 4. Wat voor symmetrie bevat een parallellogram? a. een draaipunt. b. een spiegellijn. c. geen symmetrie. Een 3-tallig draaipunt betekent, dat een figuur over 120 o gedraaid moet worden om met het oorspronkelijke figuur samen te vallen. Het figuur links is draaisymmetrisch van de orde 3. Voor een 4-tallig draaipunt is een draaiing over 90 o graden nodig om met het oorspronkelijke figuur samen te vallen. Het molentje rechts is draaisymmetrisch van de orde Wat voor symmetrie-elementen bezit een gelijkzijdige driehoek? a. een 2-tallig draaipunt. b. een 3-tallig draaipunt en drie spiegellijnen c. een 3-tallig draaipunt Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 22

23 Een figuur met een 2-tallig draaipunt noemt men dus draaisymmetrisch van de orde 2 (een draaiing van 180 ) Opdracht 4.9: a. Een vierkant is draai symmetrisch van de orde 4 b. Welke draaihoek betreft het hier? 90 c. Een regelmatige zeshoek is draai symmetrisch van de orde 6. Welke draaihoek betreft het hier? 60 opdracht 4.10: Logo s en beeldmerken 4.10.a: Zet een cirkel om de letters van de logo s die symmetrisch zijn. (Zet erbij of het om lijn- of puntsymmetrie gaat.) Let hierbij niet op eventuele tekst. Teken de symmetrieas(sen) en/of het draaipunt. a wel - draaisymmetrisch orde 2, b niet, c niet ivm kleurschakering, d wel - spiegellijn, e niet ivm kleurschakering, f wel - spiegellijn, g wel - draaisymmetrisch orde 2, h wel - draaisymmetrisch orde 2. a. b. c. d. e. f. g. h b: Symmetrisch of asymmetrisch? Zet een kruisje bij de tekeningen die symmetrisch zijn. Teken eventuele symmetrieas(sen) of draaipunt. A B C D E F Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 23

24 H5: namen en eigenschappen van figuren(2d) en objecten(3d) Bij meetkunde wordt de ruimte en omgeving beschreven met termen en begrippen als: - Benamingen van figuren en objecten: driehoek, vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, cirkel, kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, kegel en bol. - Benamingen en omschrijvingen van eigenschappen van figuren zijn bijvoorbeeld: symmetrie, evenwijdig, loodrecht, hoek en zijden. - De benamingen van soorten lijnen en lijnstukken, bijvoorbeeld: snijdende lijn, middellijn en diagonaal. - Benamingen van hoeken, bijvoorbeeld: rechte hoek, scherpe hoek, stompe hoek.. - Eigenschappen/kenmerken en vlakbenamingen van de verschillende veelhoeken en veelvlakken. Op n@tschool staat het boekje Meetkundige begrippen en kenmerken van figuren met een overzicht van eigenschappen en termen bij meetkundige figuren. Gebruik deze bijlage als naslagwerk als je een begrip niet kent. (Bijvoorbeeld stompe hoek of diagonaal.) De begrippen in dit boekje moeten bij gecijferdheid 7(meetkunde zaken) en gecijferdheid 8 (meet zaken) beheerst worden. Opdracht 5.0: Raadpleeg het boekje om uit te zoeken hoe het begrip diagonaal is gedefinieerd en beantwoord de volgende vragen: diagonaal is een lijnstuk dat twee hoeken verbindt maar niet al een zijde is. a. Hoeveel diagonalen heeft een driehoek? nul b. Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek? 9 (zie tekening) c. Hoeveel diagonalen heeft een trapezium? 2 (een trapezium is een vierhoek, elke vierhoek heeft maar 2 diagonalen. Deel 1: platte figuren Voor het definiëren van meetkundige figuren worden meerdere systemen gehanteerd. Wij bestuderen in deze cursus twee overzichten: Overzicht 1: Een beslisschema (stroomdiagram). Hierin zijn aantal hoeken en daarna eigenschappen van de zijden de aanknopingspunten. Bijvoorbeeld een vierkant heeft 4 rechte hoeken, alle zijden zijn even lang en zijn twee-aan-twee evenwijdig. Vanuit dit stroomdiagram kunnen definities, maar ook kenmerken van figuren herleid worden. Overzicht 2: Verzameling eigenschappen. Het tweede overzicht geeft een verzameling van kenmerken en mogelijke alternatieve definities, waarbij soms symmetrie en diagonalen als aanknopingspunt worden gebruikt. Bijvoorbeeld een vierkant is een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar loodrecht middendoor delen. Beide overzichten moeten goed bestudeerd worden. Een startende leerkracht moet voor elk figuur passende definities en kenmerken kunnen geven, maar ook bij gegeven kenmerken het juiste figuur kunnen benoemen. Bovendien kunnen de figuren op grond van de kenmerken geordend worden, bijvoorbeeld: alle vierkanten zijn altijd rechthoeken, maar alle rechthoeken zijn niet altijd vierkanten. Een ruit is wel altijd een vlieger, maar een vlieger is niet altijd een ruit. Een rechthoek is een bijzonder parallellogram. opdracht 5.1: Bestudeer met behulp van overzicht 1 de kenmerken van vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, trapezium, vlieger, rechthoekige driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkbenige rechthoekige driehoek, gelijkzijdige driehoek en zet de gevonden kenmerken in tabel 5.1 bij deze opgave. (Automatiseer daarna alle kenmerken van al deze figuren op grond van begrip en inzicht.) Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 24

25 Overzicht 1: het stroomdiagram: Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 25

26 draaisymmetrie Aanvul. 2 hoeken Aanv. 1 diagonalen Hoeveel symmetrieassen? Hoeveel evenwijdige zijden? Hoeveel gelijke zijden? Hoeveel rechte hoeken? Hoeveel hoeken? Hoeveel zijden? Tabel 5.1: kenmerken: Hoeveel zijden? Hoeveel hoeken? Hoeveel rechte hoeken? Hoeveel gelijke zijden? Hoeveel evenwijdige zijden? Hoeveel symmetrieassen? Vierkant aan 2 Rechthoek aan 2 Ruit aan 2 Parallellogram 4 2 aan 2 Trapezium 4 2 Vlieger 4 1 Rechthoekige driehoek Gelijkbenige driehoek Gelijkbenige rechthoekige driehoek Gelijkzijdige driehoek aanvullingen Met rood de informatie uit het stroomdiagram van overzicht 1. Op grond van de gevulde kenmerken kun je een figuur definiëren. Probeer maar uit. De grijze vlakken zijn niet gevuld, omdat daar vanuit overzicht 1 eigenlijk niks te vinden is. opdracht 5.2: Bestudeer nu overzicht 2. Hier staan bij elke figuur diverse eigenschappen. Een aantal herken je van overzicht 1, maar er zitten ook nieuwe bij. (Bijvoorbeeld de parallellogram: diagonalen snijden elkaar middendoor.) Vul de tabel 5.1 per figuur systematisch aan met nieuwe wetenswaardigheden. (Op papier wellicht te weinig schrijfruimte, maar in de digiversie kun je de tabel natuurlijk uitbreiden!) Met groen de informatie die op grond van overzicht 2 te melden is in een nieuwe tabel geplaatst. Vierkant bij 2 4 Rechthoek 4 2 bij 2 2 bij 2 Ruit 4 2 bij 2 2 Parallellogra m Trapezium Vlieger 2 bij 2 2 bij 2 2 paar aanliggende zijden 1 de diagonalen zijn even lang; de diagonalen delen elkaar middendoor; de diagonalen staan loodrecht op elkaar Diagonalen delen elkaar middendoor Beide diagonalen delen de hoeken middendoor; Diagonalen delen elkaar loodrecht Diagonalen delen elkaar middendoor Diagonalen delen elkaar loodrecht overstaand e hoeken zijn even groot overstaand e hoeken zijn even groot draai symmetrisch in het snijpunt van de diagonalen Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 26

27 Overzicht 2: een overzicht van diverse eigenschappen en definities Eigenschappen Parallellogram tegenoverliggende zijden zijn even lang tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig diagonalen delen elkaar middendoor overstaande hoeken zijn even groot draai symmetrisch in het snijpunt van de diagonalen Alternatieve definities Parallellogram Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande hoeken even groot zijn. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen. o Eigenschappen Rechthoek tegenoverliggende zijden zijn even lang tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig diagonalen delen elkaar middendoor alle hoeken zijn recht Alternatieve definities Rechthoek Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken. Een rechthoek is een vierhoek met even lange diagonalen die elkaar middendoor delen. Eigenschappen Vlieger twee paar aanliggende zijden zijn even lang een diagonaal is symmetrie as diagonalen delen elkaar loodrecht hoeken tussen de zijden die niet even lang zijn, zijn even groot Alternatieve definities Vlieger Een vlieger is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Een vlieger is een vierhoek waarvan bij twee overstaande hoeken de aanliggende zijden even lang zijn. Eigenschappen Ruit alle zijden zijn even lang tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig beide diagonalen zijn deellijn beide diagonalen zijn symmetrie assen diagonalen delen elkaar middendoor diagonalen delen elkaar loodrecht overstaande hoeken zijn even groot Alternatieve definities Ruit Een ruit is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht middendoor delen. Een ruit is een vierhoek waarvan de deellijnen tevens de diagonalen zijn. Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Een ruit is een vierhoek waarvan beide diagonalen symmetrieas zijn. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 27

28 Eigenschappen Vierkant de diagonalen zijn even lang de diagonalen delen elkaar middendoor de diagonalen staan loodrecht op elkaar alle diagonalen zijn symmetrie as alle zijden zijn even lang alle hoeken zijn rechte hoeken tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig Alternatieve definities Vierkant Een vierkant is een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar loodrecht middendoor delen. Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken en vier even lange zijden opdracht 5.3: Probeer de definities uit overzicht 2 te begrijpen en te automatiseren op grond van inzicht en begrip. Hieronder volgen een paar testvragen. Probeer altijd de meest algemene verzameling te benoemen. (verzameling PARALLELLOGRAM omvat VLIEGER, RECHTHOEK en VIERKANT) 5.3.a 5.3.b 5.3.c 5.3.d 5.3.e 5.3.f Een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn. Welk figuur? Parallellogram (en dus ook een rechthoek en een ruit en een vierkant) Een vierhoek waarvan bij twee overstaande hoeken de aanliggende zijden even lang zijn. Welk figuur? Vlieger Een vierhoek waarvan de deellijnen tevens de diagonalen zijn. Welk figuur? Ruit (en dus ook vierkant) Een vierhoek met even lange diagonalen die elkaar middendoor delen. Welk figuur? Rechthoek Een driehoek met 2 gelijke benen. Welk figuur? Gelijkbenige driehoek Een vierhoek met maar één paar evenwijdige zijden. Welk figuur? Trapezium opdracht 5.4: Bijzondere vierhoeken: probeer de volgende stellingen te bevestigen door de eigenschappen te vergelijken en te verwoorden: Er zijn vele manieren mogelijk, er staat hieronder telkens één manier a 5.4.b 5.4.c 5.4.d 5.4.e Een vierkant is een bijzondere rechthoek, want pak één van de definities en specificeer een extra eigenschap. Bijv. Een rechthoek: beide diagonalen zijn evenlang en delen elkaar middendoor + (vierkant:) delen elkaar LOODRECHT middendoor. Een vierkant is een bijzondere ruit, want Een ruit: een vierhoek met vier even lange zijden + (vierkant:) alle hoeken zijn recht. Een rechthoek is een bijzondere parallellogram, want Een parallellogram: een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn + (rechthoek:) alle hoeken zijn recht. Een ruit is een bijzonder parallellogram, want Een parallellogram: een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen + (ruit: diagonalen delen elkaar loodrecht middendoor. Een ruit is een bijzondere vlieger, want Een vlieger: een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht snijden + (ruit:) de diagonalen delen de hoeken middendoor. Opdracht 5.5: Juist of onjuist? a. een gelijkbenige driehoek heeft altijd minstens twee scherpe hoeken juist b. een rechthoekige driehoek heeft drie rechte hoeken onjuist c. de hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn altijd gelijk juist d. een diagonaal verdeelt de ruit in twee gelijke driehoeken juist e. de overstaande hoeken van een ruit zijn altijd gelijk aan elkaar juist Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 28

29 Deel 2: ruimtelijke figuren Bij het beschrijven van de diverse ruimtelijke figuren worden vaak de volgende begrippen gebruikt: Grondvlak: het vlak wat meestal op de bodem ligt. Rib(ben), de lijn(en) waar twee vlakken van een veelvlak samenkomen Hoekpunt, een punt waarbij verschillende ribben weer samenkomen. opdracht 5.6: Blz. 48: maak opgave 1 uit AllesTelt, groep 6: Plaatjes a: kegel en cilinder, b: piramide, c: kegel en cilinder, d: kegel, e: cilinder en kubus, f: balk en piramide, g: balk en kubus, h: een halve! bol en een halve! cilinder, i: een halve! piramide en een halve! Balk. 5.6.a In dit plaatje staat een piramide met vierkant grondvlak. Hoeveel vlakken heeft deze piramide? b Hoeveel ribben heeft deze piramide? c Hoeveel vlakken heeft een cilinder? 3 (2 cirkels + het gebogen vlak dat de cirkels verbindt.) opdracht 5.7: Hieronder maken we een overzicht van eigenschappen bij ruimtelijke figuren. Af en toe is er wat informatie weggelaten. Vul zelf de open plekken in (.puntjes.) Overzicht eigenschappen van ruimtelijke figuren: KUBUS Vul zelf de puntjes in! - Een kubus heeft 6 vlakken; Het grondvlak is een vierkant - Een kubus heeft 12 ribben; aan de bovenkant 4, aan de onderkant 4, en 4 om de bovenkant en onderkant met elkaar te verbinden. - Een kubus heeft 8 hoekpunten. - Alle 6 vlakken van een kubus zijn vierkant BALK PARALLELLEPIPEDUM - Een balk heeft 6 vlakken; ( een bijzondere naam, doet het goed bij - Op dit plaatje is het grondvlak een rechthoek. woordpuzzeltjes! ) - Een balk heeft 12 ribben; - Een balk heeft 8 hoekpunten. - Alle vlakken van een balk zijn rechthoek Bij een parallellepipedum zijn alle vlakken een parallellogram Opmerking: Een kubus is eigenlijk ook een balk. Een bijzondere balk. Een balk is een bijzondere parallellepipedum. PIRAMIDE - Een piramide heeft als grondvlak op de bodem altijd een veelhoek Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 29

30 - Op de veelhoek op de bodem na, zijn de overige vlakken altijd een driehoek. De driehoeken komen samen in de top. - De top van een piramide bevindt zich altijd recht boven het midden van het grondvlak CILINDER - Een cilinder heeft boven en onder een cirkel die allebei grondvlak kunnen zijn. - De dwarsdoorsnede is overal een cirkel die even groot is als het grondvlak. KEGEL - Een kegel heeft aan de onderkant een cirkel als grondvlak. Het vlak loopt uit in een punt. - Het bovenste punt ligt recht boven het middelpunt van het grondvlak. BOL - Een bol is rond aan alle kanten - De breedte, lengte en hoogte zijn altijd gelijk. PRISMA Opmerking: De lastigste van allemaal is het prisma. Alle kenmerken van een prisma op een rijtje: - De bovenkant en onderkant van een prisma hebben dezelfde vorm, dit kunnen allebei grondvlakken zijn. - Alle zijkanten van een prisma hebben de vorm van een parallellogram - De boven- en onderkant van een prisma hebben de vorm van een veelhoek Als je een vierkant als grondvlak neemt, heeft het prisma dezelfde vorm als een balk. Klopt dat? Nee, het is in ieder geval wel een parallellepipedum, want de zijvlakken kunnen namelijk ook een parallellogram zijn. opdracht 5.8: Zoek uit: kan een piramide ook een gelijkzijdige driehoek als grondvlak hebben? ja Zo ja, hoeveel vlakken heeft die piramide dan? 4 (Het is dan een viervlak die bij de platonische lichamen een tetra-ëder wordt genoemd (zie opdracht 5.11). Opdracht 5.9: Bekijk een piramide met vierkant grondvlak. Is er een spiegelvlak te vinden? (Dat wil zeggen dat beide helften precies elkaars spiegelbeeld zijn.) a. Hoeveel zijn er maximaal? Er zijn er 4, ze staan loodrecht op de 4 symmetrieassen van het vierkant grondvlak (de lichtblauwe lijnen in het plaatje). b. Schets die vlakken in de tekening. Er staat er één getekend, loodrecht op één van de diagonalen van het vierkant grondvlak. Zo kan op elke symmetrias van het vierkant een spiegelvlak getekend worden. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 30

31 Opdracht 5.10: a. Hoeveel verschillende spiegelvlakken heeft een kubus? 9 zie tekening. b. Leg uit waarom je kunt zeggen dat een bol oneindig veel spiegelvlakken heeft. Elk vlak dat door het middelpunt gaat, verdeelt de bol in twee gelijke stukken. Dat kan op oneindig veel manieren. c. Heeft een kegel spiegelvlakken? Hoeveel? Door welke punten gaan ze allemaal? Ja, ook oneindig veel, als het spiegelvlak maar door de top en door het middelpunt van het cirkelvormig grondvlak gaat. Platonische lichamen Platonische lichamen zijn regelmatige veelvlakken waarvan de zijvlakken regelmatig en onderling allemaal precies hetzelfde zijn (allemaal dezelfde driehoeken, vierkanten of vijfhoeken). Dit zijn de 5 verschillende Platonische lichamen, Van links naar rechts met hun Griekse benaming: de tetraëder, de hexaëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder. (Van alle Platonische lichamen (5) en Archimedische lichamen (13) kun je een afbeelding vinden op Met de muis kun je de lichamen draaien zodat je ziet dat ze van alle kanten bekeken er hetzelfde uitzien (in elk hoekpunt komen steeds op dezelfde manier de vlakken samen)). opdracht 5.11: Analyseer de eerste vier Platonische lichamen op de eigenschappen Aantal Vlakken, Aantal Ribben en Aantal Hoekpunten. Gebruik daarbij onderstaand schema en de website Vul nu de onderstaande tabel in: naam veelvlak: aantal vlakken (V): aantal ribben (R): aantal hoekpunten (H): de tetraëder de hexaëder de octaëder de dodecaëder opdracht 5.12: Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 31

32 tetra betekent vier, hexa betekent zes, octa betekent acht,do-deca betekent twaalf. Wat zou het achtervoegsel.ëder betekenen? Het achtervoegsel ëder betekent hier vlak. Komt van Hedra (grieks voor zetel of vlak (zit ook in cathedraal!) H6: Plattegronden, routes (richting en afstand) opdracht 6.1: Blz.24: Lees bovenste alinea plattegrond groep 1 tot en met 4. Vaak hanteren pretparken en dierentuinen een plattegrond die eruit ziet alsof je het vanuit de lucht schuin bekijkt. 6.1.a: Hoe wordt dit perspectief genoemd? Vogelvlucht perspectief 6.1.b: Leg uit waarom voor jonge kinderen dit perspectief wordt toegepast in plaats van een echte plattegrond. Bij vogelvluchtperspectief zie je de voorwerpen nog herkenbaar alsof je er tegenaan kijkt. Bij een echte plattegrond zie je alleen het bovenaanzicht. Het interpreteren van een bovenaanzicht vraagt een hoger abstractieniveau en kennis van ruimtelijke relaties (afstanden en posities ten opzichte van elkaar.) opdracht 6.2: Blz.49/50: Lees de tekst over plattegronden en routes. Er zijn verschillende manieren om routes te visualiseren: voorbeeld 1 pijltjes en voorbeeld 2 stripkaart. Beide manieren worden onderaan blz.49 in het boek uitgelegd. 5.6.a maak blz. 50 opgave 1a uit Pluspunt, groep 4 de pijltjesroute. Waar kom je uiteindelijk uit? Let op! Je moet even BUITEN de kaart om, maar uiteindelijk kom je weer in het dorp terecht! Ter controle kun je alle pijltjes omhoog tellen (7) en alle pijltjes omlaag (7), dus die heffen elkaar uiteindelijk op. Alle pijltjes naar rechts (9) heffen de pijltjes naar links (9) precies op. 5.6.b Lees de uitleg over de stripkaart op blz. 49. Bestudeer de plattegrond met stripkaartroute die onderaan blz. 50 gegeven is. - Kijk eens of je de route die getekend is kan volgen met de stripkaart. Het startpunt is de dikke zwarte stip. De eerste kruising laat je één weg links liggen EN één weg rechts liggen, je gaat dus rechtdoor. De tweede kruising laat je twee wegen links liggen, je gaat dus hier rechtsaf. Etc. - Loop in de plattegrond de volgende nieuwe route: Waar kom je uit? Je komt weer terug bij start! (eerste kruising: rechtdoor; tweede kruising: rechtdoor; derde kruising: rechtsaf; vierde kruising: rechtdoor; vijfde kruising: rechtsaf; zesde kruising: rechtdoor; zevende kruising: rechtdoor; achtste kruising (vlak na de zevende): rechtdoor; negende kruising: linksaf. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 32

33 opdracht 6.3: Blz. 137: maak opgave bovenaan uit Alles Telt, groep 6 en vul de tabel in: windrichting west zuid noord oost aanzicht a b c d Hieronder zie je een scherm uit het programma Robot van het Rekenweb. hijning=0&groep=0&viewkw=1&viewfm=0 B D A Een route wordt beschreven met behulp van 2 commando s: C LOOP...en dan de afstand en/ of DRAAI..en dan de hoek... Elk hokje heeft een afstand van 5 bij 5. De robot kan niet door de kratten lopen. Bijvoorbeeld: om van linksonder (A) naar de boven-linkerhoek van de krat (B) te lopen is de routebeschrijving: LOOP 40 DRAAI 90 LOOP 2 opdracht 6.4: Geef een routebeschrijving om van C bij D te komen (meerdere antwoorden mogelijk). Bijvoorbeeld de route die hier met wit is aangegeven: LOOP 25 DRAAI 270 LOOP 15 DRAAI 90 LOOP 10 DRAAI 270 LOOP 15 Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 33

34 H7: De cirkel. Eenvoudige constructies met passer en liniaal. Nodig: passer, liniaal, potlood Zet een geit met een touw gebonden aan een paaltje op een grasveldje en na enige tijd zie je een cirkel! Verklaar. Als de geit al het gras opeet waar hij bij kan, dan zal hij zó ver komen als het touwtje hem toelaat. Hij graast alles in de rondte af waar hij bij kan. Uiteindelijk heeft hij dan een cirkel weggegeten. Een cirkel is een lijn zonder begin en zonder eind. De afstand van elk punt op die lijn naar het middelpunt is even groot. Een cirkel maak je eenvoudig met een touwtje die je aan een kant vastmaakt (middelpunt) en dan met de andere kant vorm je de cirkellijn of je gebruikt een passer. Passer (uit Wikipedia:) Een passer is een meetinstrument waarmee een (kleine) afstand vastgezet en elders afgepast kan worden. De bekendste vorm van de passer is die waarmee cirkels en cirkelbogen getekend kunnen worden. Een passer is meestal van metaal gemaakt en bestaat uit tenminste twee delen van gelijke lengte, die door middel van een scharnier aan de bovenzijde met elkaar zijn verbonden. Meestal bevindt zich onderaan bij één been een pin en bij het andere been een potloodstift. Cirkels tekenen Wanneer we een cirkel willen tekenen buigen we de benen zo ver uit elkaar dat de afstand tussen de pin en de potloodstift gelijk is aan de straal van de cirkel die we willen tekenen. Vervolgens drukken we de pin op de plaats waar we het middelpunt van de cirkel willen hebben in het papier. Daarna draaien we de passer om de pin. Omdat de afstand van de potloodstift tot de pin constant is, beschrijft de potloodstift een cirkelvormige baan rond het middelpunt. opdracht 7.1: a. Teken het plaatje hiernaast (maar dan wat groter) met behulp van een passer en liniaal. De straal van alle cirkels is 3 cm. De middelpunten van de cirkels bevinden zich op de snijpunten X, Y en Z. b. Beredeneer: zijn de afstanden tussen de 3 middelpunten allemaal even groot? Meet maar na met je liniaal ter controle. a) Begin met één cirkel met straal 3 cm (hier grijs). Verander de passer niet meer (afstand tussen pin en potlood blijft 3 cm). Zet de passerpin ergens op de eerste cirkel en trek de tweede cirkel (hier groen). Zet vervolgens de passerpin op het snijpunt van beide cirkels en teken cirkel 3 (hier rood) b) de afstand van de snijpunten tot de middelpunten zijn allemaal 3 cm, omdat het de straal is van de cirkel (3 cm) Y X Z Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 34

35 Constructies met passer en liniaal: De passer dient voor het tekenen van cirkels en aftekenen van gelijke afstanden op rechte lijnen. De volgende opdrachten leren je om een rechthoek, een vierkant, een rechthoekige driehoek, een gelijkbenige driehoek en een gelijkzijdige driehoek te construeren met passer en liniaal. Je zult deze constructies zelfstandig moeten beheersen. Meestal zijn een paar punten en of een lijnstuk gegeven en moet van daaruit het figuur worden opgebouwd. Om vierkanten en rechthoeken te kunnen tekenen, zullen we een rechte hoek (90 ) moeten kunnen construeren. Dit kan altijd lukken als we een rechte lijn hebben en vervolgens daarop een loodrechte lijn construeren. Een rechte lijn maken we met een liniaaltje. Opdracht 7.2: Construeren van een lijn die loodrecht staat op de lijn AB met behulp van passer: a. Teken een cirkel met middelpunt A en een straal die iets groter is dan de afstand tussen A en B. Zie grijze cirkel. b. Teken nu een cirkel met middelpunt B en dezelfde straal als de eerste cirkel. Zie groene cirkel. c. Je ziet dat de twee cirkels elkaar snijden. Eén snijpunt boven de lijn AB en één snijpunt onder de lijn AB. Verbind die twee snijpunten met elkaar met een rechte lijn. Zie rode lijn. Gefeliciteerd! Je hebt nu een middelloodlijn geconstrueerd! Stap 1 Stap 2 A B A B Stap 3 A B Middelloodlijn We kunnen met een passer de middelloodlijn tussen twee punten vinden door vanuit ieder punt een cirkel te trekken met dezelfde straal. Deze straal kan een willekeurige straal zijn die groter is dan de helft van de afstand tussen de twee punten. De middelloodlijn loopt door de snijpunten van de cirkels. De middelloodlijn is een van de belangrijkste lijnen in de vlakke meetkunde. De middelloodlijn van lijnstuk AB wordt gevormd door alle punten die gelijke afstand hebben tot punten A en B Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 35

36 Opdracht 7.3: Om een middelloodlijn te construeren moet er dus een snijpunt boven de lijn en een snijpunt onder de lijn aanwezig zijn. Waarom moet de straal groter zijn dan de helft van de afstand tussen de twee punten? Omdat er anders niet twee snijpunten (boven en onder het lijnstuk) komen. opdracht 7.4: Construeer de middelloodlijn tussen punt A en B. Teken cirkel om A (hier grijs), teken even grote cirkel om B (hier groen) en verbind de twee punten waar de cirkels elkaar snijden (hier rode lijn). Bedenk dat je eigenlijk niet de hele cirkels telkens HELEMAAL hoeft te tekenen. Een klein stukje (cirkelboogje) is genoeg in de buurt waar ze elkaar snijden. Zie figuur 2: Opdracht 7.5: construeren van een vierkant met behulp van passer en liniaal: Hieronder zie je een lijn AB en de middelloodlijn als stippellijn. De middelloodlijn snijdt AB precies in het midden. Dit snijpunt is aangegeven met de letter S. Je kunt met je liniaal de afstand meten van AS (als het goed is komt daar 1,5 cm uit) Bedenk een manier om met dit plaatje en je passer en liniaal een vierkant te construeren met zijdes 1,5 cm. Er zijn meerdere manieren Manier 1: meet met je liniaal 1,5 cm omhoog vanaf S. noem dit punt P (figuur 1). Construeer nu een nieuwe lijn door P die loodrecht staat op SP; dat kan met een middelloodlijn, dus eerst een hulppunt H tekenen (figuur 2) en dan de middelloodlijn tussen S en H tekenen (figuur 3). Meet op die nieuwe loodlijn 1,5 cm opzij vanaf P en noem dit punt Q. (figuur 4) Verbind de punten Teken nu het vierkant ASPQ. teken P teken hulppuntje H A S B A P S B H Construeer loodlijn door P P H Meet 1,5 cm en teken Q A S B Q P A S B Opdracht 7.6: Gegeven is de lijn van 4 cm. Construeer nu zelf een vierkant met zijde 2 cm. Maak gebruik van een passer en een liniaal. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 36

37 Construeer punt S precies tussen A en B (middelloodlijn maken!). Verder zoals boven. Je hebt in opgave 7.2 ontdekt dat de loodrechte lijn precies in het midden tussen A en B terecht kwam. Hoe zou je nu een loodrechte lijn kunnen construeren die precies door A gaat? In dat dat geval construeer je eerst een hulppunt (hier H) waarbij de afstand van H naar A even groot is als de afstand van A naar B. (zie plaatje) H A B Dat kan door de lijn AB te verlengen en dan met de passer de afstand AB af te passen en die afstand weer af te passen om H te vinden. Het kan ook door de lijn AB te verlengen en met een liniaaltje de afstand van AB te meten en die afstand af te passen om H te vinden. Zodra je H gevonden hebt kun je de middelloodlijn tussen H en B construeren, en die gaat. inderdaad precies door A! Opdracht 7.7: Gegeven is een lijn van 4 cm. Construeer nu zelf een rechthoek van 4 cm x 8 cm met behulp van een passer en een liniaal. Er zijn meerdere manieren. Bijvoorbeeld: verdubbel de lijn AB naar 8 cm door de passerpunt in B te zetten en het potloodpunt in A, dan cirkel tekenen, dan lijnstuk AB doortekenen naar snijpunt S. Het lijnstuk AS is nu 8 cm. A B S H2 A B S H1 Construeer nu een middelloodlijn door S (maak eerst hulppunt H1!) en door A (maak hulppunt H2.) En pas dan met je passer 4 cm (de afstand tussen A en B) af vanuit A en S en vind punten P en Q. Verbind A S Q P en de rechthoek is gemaakt. Opdracht 7.8: construeren van een rechthoekige driehoek met een passer en liniaal. Construeer een loodrechte lijn naar boven vanuit punt A. Teken nu ergens op deze loodlijn een punt C. Verbind A,B en C en je hebt een rechthoekige driehoek! Gefeliciteerd! Voor het construeren van een loodrechte lijn vanuit A zie uitleg hierboven en C opgave 7.7 Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 37 A B

38 Opdracht 7.9: Construeer een rechthoekige driehoek met basis 4 cm en hoogte 3 cm. Teken lijnstuk AB van 4 cm lang. Construeer een loodrechte lijn vanuit A en pas met liniaaltje daar 3 cm op af. Teken daar punt C. Verbind A, B en C. Opdracht 7.10: construeren van een gelijkbenige driehoek met een passer en liniaal Bekijk het plaatje hiernaast. Het is de bekende middelloodlijn tussen A en B. Teken een punt C in dit plaatje zodat de driehoek ABC een gelijkbenige driehoek is. (Tip: beschouw AB als de basis van die driehoek.) C Voor alle punten op de middelloodlijn geldt dat de afstand tot A evengroot is als de afstand tot B. Dat is precies de eigenschap van een gelijkbenige driehoek. Er zijn er zo vele te tekenen. Opdracht 7.11: Construeer met passer en liniaal een gelijkbenige driehoek met basis 3 cm en hoogte 4 cm. Teken een lijnstuk AB van 3 cm. Construeer de middelloodlijn. Meet op die lijn naar boven 4 cm af. Teken daar punt C. Verbind A, B en C. A B Opdracht 7.12: construeren van een gelijkzijdige driehoek met passer en liniaal (die heb je eigenlijk niet nodig!) Als je ervoor zorgt dat de benen AC en BC even lang zijn als AB, dan heb je een gelijkzijdige driehoek. Hoe vind je het punt C? - Je kunt met de passer de afstand AB meten. - Teken een stukje cirkel met middelpunt A en straal AB. Schrijf bij het snijpunt met middelloodlijn de letter C. - Controleer of de zijdes AC, BC en AB allemaal even lang zijn. C Gefeliciteerd, u heeft een gelijkzijdige driehoek geconstrueerd met alleen een passer! Opdracht 7.13: Construeer een gelijkzijdige driehoek met zijde 4 cm. A S B Teken een lijnstuk AB van 4 cm. Teken met de passer een cirkel met middelpunt A door B, trek een tweede cirkel met middelpunt B door A. Zet op het snijpunt boven de letter C. Verbind A, B en C. Het is precies dezelfde constructie als in opgave 7.1 waar dit hoofdstuk mee is begonnen. Zo is de cirkel weer rond! Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 38

39 Opdracht 7.14: Als je bovenstaande constructies hebt begrepen en kunt uitvoeren, dan zal je ook meer constructievoorschriften kunnen lezen en begrijpen die op het eerste gezicht erg ingewikkeld lijken. Bestudeer de tekst hieronder over het construeren van een regelmatige zeshoek (de bekende honingraat.) Als je het begrijpt, probeer dan zelf een regelmatige zeshoek te construeren met alleen een passer en een lijnstuk AB van 3 cm. Constructie van een regelmatige zeshoek: Uitgaande van de lengte AB van een zijde construeren we een regelmatige zeshoek. - construeer gelijkzijdige driehoek ABM - cirkel MA om vanuit M - pas afstanden MA af op de cirkel, snijpunten zijn B, C, D, E, F - trek lijnen BC, CD, DE, EF, FA merk op: alle driehoeken (MAB, MBC...enz) zijn gelijkzijdig, dus hoeken zijn 60 graden. De zes middelpuntshoeken bij M zijn samen 360 graden Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 39

40 H8: Gevarieerde opgaven Opdracht 8.1: Teken een bouwplaat van een piramide met een vierkant grondvlak met een oppervlakte van 4 cm 2 en waarvan de ribben van de zijvlakken 6 cm zijn. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 40

41 Opgave 8.2: Hoeveel diagonalen heeft een vijfhoek? 5 Teken ze in de figuur. Opgave 8.3: Teken (niet schetsen!) zonder ruitjespapier een bouwplaat van een tetraëder met ribbe 4 cm. Gebruik liniaal en passer. Of gebruik als dit nog niet lukt, er ook een gradenboog bij. Hier kun je de constructievaardigheden gebruiken om gelijkzijdige driehoeken te construeren met passer en liniaal. Ik construeer eerst een grote gelijkzijdige driehoek met basis 8 cm (blauw). Daarna construeer ik het midden van elke zijde (middelloodlijn!) en verbind die tot een gelijkzijdige driehoek met zijde 4 (rood). Dit figuur is een bouwplaat van een tetraëder Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 41

42 opdracht 8.4: Ik heb met magnetische bolletjes een kubus gemaakt. Zie plaatje het plaatje hiernaast. a. Hoeveel bolletjes zijn er gebruikt voor alle ribben? Let op dat je de hoekballetjes niet dubbel telt! Bovenvlak 20: ( ) plus ondervlak 20 (ook ) plus verbindingen 16 ( ) = 56 b. Hoeveel bolletjes zijn er gebruikt voor de hele kubus? Eén laag is 6x6= 36, dus 6 lagen zijn 6 x 36 = 216 c. Kan ik met 64 bolletjes een kubus maken? Licht toe. Ja 4 x 4 x 4 = 64 (of 3 e macht wordtel uit 64 = 4) Het wordt een kubus van 4 bij 4 bij 4. Opdracht 8.5: Heeft een vierkant een 4-tallig draaipunt? Zo ja, waar zit dat draaipunt? Ja, precies in het middelpunt (het punt waar de diagonalen elkaar snijden. Opdracht 8.6: Hoeveel spiegelvlakken heeft een balk? Schets ze in onderstaande tekening: 5. Zie ook opgave 5.10 (spiegelvlakken bij een kubus.) Aangezien de diagonalen van een rechthoek GEEN spiegellijnen zijn, vervallen hier al de vlakken die door de diagonalen van de rechthoeken gaan. Blijven over: 2 vlakken die door diagonalen van vierkant zijvlak gaan en de 3 vlakken die de balk loodrecht in het midden doorsnijden. Opdracht 8.7: Bekijk de sporen op het besneeuwde pad. Bekijk welk spoor door een ander spoor wordt overlapt. Er zijn meerder personen langs gekomen. a. Met een kruiwagen (voetstappen met lijn ertussen) b. Met een paard (hoefafdruk) c. Met een tractor (brede banden) d. Met een sleetje (Twee dunne lijnen met voetstappen ertussen) op welke volgorde kwamen zij over het pad? Eerst kwam: C Daarna kwam: A Toen kwam: D Tot slot kwam: B Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 42

43 Opgave 8.8 Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 43

44 Opgave 8.10 Opgave 8.9 Elke as is 5 blokjes lang. Er zijn 3 assen die het middelste blokje gemeen hebben. Dus = 13 blokjes Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 44

45 Opgave 8.10 Het blauwe gestippelde gedeelte is voor beide camera s niet zichtbaar. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 45

46 Opgave 8.11: Kim maakt dit bouwsel dat hier rechts afgebeeld is: a. Kan zij met deze blokken ook dit onderstaande bouwsel maken? Bouwsel 1 heeft = 20 blokken. Bouwsel 2 heeft er = 19 blokken. Ja het kan. b. Teken de hoogtekaart van het tweede bouwsel van Kim voor c. Hoeveel blokken heeft zij nodig om het tweede bouwsel één laag hoger te maken, met behoud van het bouwpatroon? De bodemplaat wordt dan wel groter: er komen 25 blokken bij voor Opgave 8.12 Hier zie je de hoogtekaart van een blokkenbouwsel. Maak een silhouettekening van de vier zijaanzichten voor rechts achter links Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 46

47 Opgave 8.13: Bekijk dit voorwerp hiernaast. a. Wat is de juiste meetkundige naam voor dit object? Prisma b. Hoeveel ribben heeft dit object? = 18 c. Schets één spiegelvlak. Uiteraard elke loodrechte dwarsdoorsnede die door de tegenover elkaar liggende hoeken EN het middelpunt van de zeshoeken gaat (blauw), maar ook elk loodrechte dwarsdoorsnede door het midden van de zijdes van de zeshoeken EN het middelpunt van de zeshoeken (groen). Tot slot nog een vlak evenwijdig aan het grondvlak die precies door het midden van de omhoogstaande ribben gaat (oranje). d. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met zijdes van 2 cm. De hoogte is 6 cm. Schets hieronder een bouwplaat bij deze vorm (dus niet precies construeren!) Ik teken 6 rechthoeken van 6 cm bij 2 cm. Het grondvlak en de deksel teken ik aan één van de rechthoeken. Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 47

48 Bijlage 1: Begrippenlijst Geen antwoorden in het antwoordenboekje. Probeer deze begrippen zelf te omschrijven. Deze lijst met begrippen is nog lang niet volledig. Vul hem zelf aan met begrippen die je lastig vindt. Gebruik deze begrippenlijst als een checklist. Na afloop van deze cursus zal je bij al deze begrippen moeten weten wat het betekent en er voorbeelden bij kunnen geven. achteraanzicht balk bol bovenaanzicht cilinder cirkel diagonaal draaisymmetrie driehoek evenwijdig evenwijdige lijn gelijkbenig gelijkvormig gelijkzijdig gestrekte hoek? graden hoek kegel kubus lijnspiegelen lijnsymmetrie loodrecht middellijn parallellepipedum parallellogram Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 48

49 perspectief pijlentaal piramide Platonische lichamen prisma projecteren puntspiegeling puntsymmetrie rechte hoek rechthoek regelmatig 12-vlak regelmatig 8-vlak regelmatig 4-vlak ruimtelijk figuur ruit scherpe hoek scherphoekig snijdende lijnen stompe hoek stomphoekig symmetrie trapezium verschuiven vierkant vlak figuur vlieger vooraanzicht zijaanzicht zijden zijvlakken Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 49

50 Bijlage 2 (uit Kennisbasis): B1.0 Maatschappelijke relevantie (uit Kennisbasis) Meetkunde komen we overal tegen. Bij deelname aan het verkeer, sport, spel en dans, kunst, inrichting van de woning, bouwen en knutselen, bij het opruimen, bij het begrijpen van telefonie en waterleiding, bij logistiek, of bij het begrijpen van lucht- en ruimtevaart Overal spelen meetkundige inzichten en activiteiten een rol. Bij logistiek gaat het om de juiste dingen, op de juiste tijd, op de juiste plaats, in de juiste hoeveelheden tegen optimale kosten (Wikipedia). Voor het vinden van evenwicht tussen al deze logistieke factoren is meetkunde nodig, bijvoorbeeld kennis van vormen en formaten voor het bepalen van het juiste verpakkingsmateriaal passend in de verscheidenheid van magazijnrekken In het verkeer speelt meetkunde een rol zoals bij routes en routebeschrijvingen. In een routebeschrijving wordt zo eenduidig mogelijk weergegeven welke richtingen gevolgd kunnen worden. Routebeschrijvingen worden in veel situaties gebruikt, onder meer om de kortste weg te wijzen naar een evenement, de makkelijkste route naar een vakantiebestemming of de mooiste route voor een recreatieve fietstocht. De organisatie en het ordenen van het huishouden vraagt meetkundige inzichten en activiteiten. Denk hierbij aan het inrichten, opruimen, (ver)bouwen en knutselen in huis. Hierbij spelen meetkundige aspecten als oriënteren, lokaliseren, projecteren en redeneren een rol. Datzelfde geldt in de bouw, techniek en andere beroepen en activiteiten waarbij het gaat om construeren, ontwerpen en opbouwen. Bij sport, spel en dans worden eigen bewegingsmogelijkheden (snelheid en richting) en die van anderen ingeschat, bijvoorbeeld bij voetbal, handbal, het spelen van verstoppertje en het uitvoeren van de Zwanendans (Meester, 1991). Dit geldt ook in de virtuele werkelijkheden van moderne computerspellen. Bij kunst en architectuur speelt bovendien het esthetische aspect van meetkunde. Spiegelingen en andere meetkundige transformaties op vlakke en ruimtelijke figuren in allerlei patronen worden daarin uitvoerig gebruikt, bijvoorbeeld bij de vlakvullingen, patronen en onmogelijke figuren van Escher en geometrische figuren in bijvoorbeeld Islamitische kunst. B1.1 Kennis van meetkunde De startbekwame leerkracht beschikt over kennis van de meetkundige kennisgebieden en activiteiten. Bij meetkunde gaat het onder meer over de plaats van objecten in de ruimte, richting van kijken en bewegen, routes, netwerken (telefoonnet, wegennet, waterleiding), vertakte vormen, de plaats van objecten ten opzichte van elkaar, zoals 'tegenover elkaar' en (spiegel)symmetrie, vlakke en ruimtelijke figuren, patronen, vormen zoals lijn(stuk), cirkel, vierkant, rechthoek of driehoek en de eigenschappen van vormen, hoe vormen zijn samengesteld uit andere vormen, het afbeelden (projecties) van ruimtelijke vormen in het platte vlak, en het vergroten en verkleinen van vormen en afbeeldingen (zoals even groot, of niet even groot maar dezelfde vorm). De kennisgebieden van meetkunde zijn in te delen naar ervaren, verklaren en verbinden (De Moor e.a., 1997; Van den Heuvel-Panhuizen & Buijs, 2004; Gravemeijer e.a., 2007). Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 50

51 B1.2 Ervaren bij meetkunde Ervaren kan worden omschreven met: door ondervinding leren, gewaarworden, voelen en zien. Dit betekent dat meetkunde begint bij het zien en handelen, bijvoorbeeld: - Het ervaren van de kenmerken van een vlak of ruimtelijk model, al dan niet voorzien van een constructievoorschrift. - Het ervaren van de kenmerken van een driedimensionale blokkenconstructie met een tweedimensionale tekening of een plattegrond met hoogtegetallen. - Het oplossen van een puzzel met geometrische figuren, bijvoorbeeld een tangram of vlakvulling. - Het tekenen van vierhoeken en driehoeken volgens een constructievoorschrift met behulp van liniaal, gradenboog en passer. Bijvoorbeeld: teken een ruit met de diagonalen van 5 cm en 4 cm. - Het toepassen van transformaties zoals draaien en verschuiven, met voorwerpen en van tekeningen. - Het experimenteren met licht en schaduw. B1.3 Verklaren bij meetkunde Verklaren houdt bij meetkunde bijvoorbeeld in het duidelijk maken, interpreteren, toelichten, uitleggen, duiden en verhelderen. Hierbij speelt beschrijven en (be)redeneren een belangrijke rol. Dit kan met taal, getallen, ruimtelijke figuren en situaties. Daarbij valt te denken aan: - Coördinaten die in het platte vlak figuren of locaties beschrijven waarbij gebruik wordt gemaakt van een letter en een cijfer (bijvoorbeeld bij een stadskaart) of alleen hele getallen. - Beschrijven van richting of hoek en afstand in het platte vlak, bijvoorbeeld naar links of tussendoor. - Gebruiken van plaatsbepalende begrippen, zoals achterste, middelste en dichtbij. - Beschrijven en gebruiken van verschillende standpunten, waaronder zijaanzicht en bovenaanzicht. - Het verwoorden en benoemen van eigenschappen van vlakke en ruimtelijke figuren aan de hand van hun eigenschappen. Bijvoorbeeld: als alle zijden gelijk zijn en de tegenoverliggende hoeken zijn gelijk maar niet noodzakelijk recht, dan is het omschreven figuur een ruit. Dit betekent dan dat de tegenoverliggende zijden evenwijdig lopen en dat de diagonalen elkaar middendoor delen en loodrecht op elkaar staan. B1.4 Verbinden bij meetkunde Verbinden houdt bij meetkunde in het aaneenschakelen, aansluiten, combineren, samenbundelen en in verband brengen met elkaar. Dit betekent dat meetkundige ervaringen en verklaringen in verband worden gebracht met andere (meetkundige) begrippen en verschijnselen. Dit leidt tot een verdieping van het meetkundig inzicht. Te denken valt aan: - Het omstructureren van veelhoeken naar rechthoeken en driehoeken enerzijds en veelvlakken naar kubussen, balken, piramides en prisma s en dergelijke anderzijds door verdeling, aanvulling en compensatie. Bijvoorbeeld: het aantal ribben van nevenstaand figuur (een twintigvlak) kan worden bepaald met behulp van het omstructureren in twintig losse driehoeken. - Het herkennen, benoemen en onderzoeken van gelijkvormige en niet gelijkvormige figuren aan de hand van de eigenschappen. Bijvoorbeeld: formules voor omtrek, oppervlakte en inhoud van veel voorkomende meetkundige figuren, de stelling van Pythagoras en symmetrie. - Het interpreteren en bewerken van vlakke tekeningen van ruimtelijke situaties, zoals foto s, plattegronden, patroontekeningen, landkaarten en bouwtekeningen, daarbij gebruik makend van uitslagen, doorsneden, projecties en de computer (Boon, 2003). Uitwerkingen bij Reader PABMTK14X Gecijferdheid 5, Meetkunde blz. 51