4. NUMERIEKE INTEGRATIE
|
|
|
- Nina Bosmans
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 4. NUMERIEKE INTEGRATIE Uit het voorgaande is gebleken dat oppervlakken, volumina, zwaartepunten, statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende constructies en ook in allerlei andere toepassingen. Derhalve wordt nu eerst enige aandacht besteed aan hoe men deze grootheden van willekeurig gevormde oppervlakken en lichamen kan berekenen met behulp van numerieke methoden. Het gebruik van numerieke in plaats van analtische methoden is veelal noodzakelijk omdat de te bewerken lichamen zich veelal niet analtisch laten beschrijven, zoals we hebben gezien bij het vastleggen van de scheepsromp. Hoe bepalen we nu het oppervlak, het statische moment of het zwaartepunt van een figuur? In het algemene geval, zonder te letten op hoe de integralen worden opgelost, geldt het volgende: Beschouw een willekeurige continue kromme zoals gegeven in de figuur. Het oppervlak van het gearceerde strookje met hoogte en breedte d is gelijk aan: d. Het oppervlak A dat begrensd wordt door de -as, o, o en de kromme wordt gevonden door de sommatie van al deze kleine oppervlakjes. Als we de breedte van het strookje naar nul laten gaan dan kennen we uit de wiskunde voor het oppervlak van de figuur de volgende integraal: A d Het statische moment van het oppervlak A ten opzichte van de -as wordt eveneens gevonden door eerst het statisch moment van het strookje te beschouwen en vervolgens te integreren over de gewenste range. DEFINITIE: Het statische moment van een oppervlakte elementje (of volume elementje) t.o.v. een bepaalde as is het product van het oppervlak (volume) van het elementje en zijn afstand tot deze as..
2 Voor een klein elementje van het gearceerde strookje vinden we als statisch moment t.o.v. de -as: udud Voor het gehele strookje geldt dan: ds u du d d En voor het gehele oppervlak A tenslotte: S d Op dezelfde wijze vindt men voor het statische moment van A ten opzichte van de -as: S d Volgens de definities uit de mechanica geldt voor de coördinaten van het zwaartepunt van een oppervlak of volume het volgende: DEFINITIE - coördinaat van het zwaartepunt: S A - coördinaat van het zwaartepunt: S A In de hierna volgende behandeling van het evenwicht en de stabiliteit van drijvende constructies zal ook meermalen gebruik worden gemaakt van het begrip traagheidsmoment. Vandaar:.
3 DEFINITIE: Het traagheidsmoment van een oppervlakte elementje (of volume elementje) ten opzichte van een bepaalde as is het product van het oppervlak (volume) van het elementje en zijn afstand tot de as in het kwadraat. Ook de traagheidsmomenten van A t.o.v. de -as en de -as zijn te bepalen. Het traagheidsmoment van het strookje ten opzichte van de -as is: di d en het traagheidsmoment van het gehele oppervlak A t.o.v. de -as wordt derhalve gevonden door sommatie van alle strookjes, ofwel: I d Voor de berekening van het traagheidsmoment t.o.v. de -as voeren we eerst weer een tussen integratie uit. Voor het kleine elementje dud van het strookje is het traagheidsmoment t.o.v. de -as gelijk aan: u dud en dus van het gehele strookje (sommatie over de elementjes): di u du d d en tenslotte voor het gehele oppervlak A (sommatie over de strookjes): I d De hier gegeven uitdrukkingen zijn analtische uitdrukkingen. Als in het beschouwde geval als functie van bekend zou zijn dan kunnen de integralen zuiver analtisch worden opgelost. In ons geval is dat niet zo en moeten we onze toevlucht nemen tot numerieke methoden uitgaande van de verzameling punten waarmee de scheepsvorm is gedefinieerd. Zoals we gezien hebben komt integratie neer op oppervlakte bepaling. De meest gebruikte regels voor numerieke integratie zijn de trapeziumregel en de e regel van Simpson. In het kader van dit college zullen we ons tot deze beide regels beperken, ofschoon er nog een aantal andere zijn. Beschouw daartoe de volgende figuur..
4 Het oppervlak tussen de -as,, en f() moet worden bepaald. Alleen de functiewaarden, en voor, en zijn bekend (discrete punten). De meest eenvoudige manier om het oppervlak te benaderen is door het oppervlak te berekenen van een tweetal ingeschreven rechthoeken. Dit staat weergegeven in de linkse figuur. Het oppervlak van een vierkant is eenvoudig te berekenen uit de gegeven functiewaarden en de onderlinge afstanden. De benadering van het werkelijke oppervlak onder de kromme is echter vrij onnauwkeurig, zoals uit de figuur wel blijkt. Deze methode wordt derhalve in de praktijk niet toegepast. Een andere methode bestaat uit het bepalen van het oppervlak van twee ingeschreven trapezia eveneens gebruikmakende van de gegeven functiewaarden. Het oppervlak onder de kromme kan dan geschreven worden als: ( ) A h + + De kromme lijn wordt hier benaderd door twee rechte lijnstukken tussen de drie punten in. Dit blijkt in de praktijk een redelijke benadering te zijn voor het oppervlak voor niet te sterk gekromde lijnstukken. Deze regel staat bekend als de trapeziumregel. Een derde benadering wordt gevonden door het oppervlak onder de kromme te splitsen in een gedeelte te benaderen door een trapezium en het resterende gedeelte door een tweedegraads functie. Het oppervlak van het trapezium is dan gelijk aan: + h h ( + ).4
5 Het oppervlak van het gearceerde gedeelte wordt benaderd met behulp van het bekende oppervlak van een parabool en wordt dan: h ( 4 h h + ) h Het totale oppervlak wordt nu gevonden door de twee gedeelten bij elkaar op te tellen. We vinden dan: 4 A h ( + ) + h h h A h ( Dit is de eerste regel van Simpson Een grotere nauwkeurigheid wordt bereikt als de te berekenen figuur wordt onderverdeeld in meer gedeelten, waarvan het aantal altijd even moet zijn. Er geldt dan de algemene formule, welke gevonden wordt door het oppervlak van twee gedeelten te bepalen en uiteindelijk over alle gedeelten te sommeren: ) ( K ) A h n n De factoren, 4,, 4,, 4, , worden wel de Simpson factoren genoemd. Met behulp van een voldoende aantal verdeelstukken is een hoge nauwkeurigheid te bereiken. In de regel ligt de te bereiken nauwkeurigheid binnen enkele tienden van een procent. Ter illustratie volgt hieronder een eenvoudig voorbeeld. ord. breedte Simpson factor prod. mom. factor t.o.v. ord prod
6 A m A m 9.8 In het bovenstaande hebben we gedemonstreerd hoe we het oppervlak van een figuur kunnen bepalen met behulp van een numerieke methode. Alle noodzakelijke integraties zijn aldus uit te voeren: Immers een integraal als: I d Kan opgevat worden als: I t d Waarin t -as. dus I is / van het oppervlak tussen t f(),, + en de Het berekenen van een volume kan uitgevoerd worden door tweemaal een oppervlakte integratie uit te voeren. We zullen dit trachten toe te lichten. In het algemene geval wordt de inhoud van een lichaam zoals gegeven in de onderstaande figuur gegeven door: zt T ddz (factor vanwege de smmetrie) -T We kunnen dit op twee manieren splitsen in twee achter elkaar op te lossen oppervlakte integralen. Ten eerste door nu de oppervlakte integraal op te lossen: T dz A wordt de oppervlakte berekend van de dwarsdoorsnede van de vorm (spantoppervlak)..6
7 Door dit voor een groot aantal (bijvoorbeeld ) waarden van te doen en de aldus verkregen waarden van de spantoppervlakken te plotten op basis van hun onderlinge afstand, verkrijgt men een figuur zoals hieronder weergegeven, voorstellende de verdeling van het dwarsdoorsnede oppervlak over de lengte van het lichaam. Door hiervan de oppervlakte te bepalen met behulp van dezelfde numerieke integratiemethode wordt in feite de integraal: T -T A d opgelost. Hiermee is het volume van het lichaam bepaald : de integraal van het doorsnede oppervlak over de lengte van het lichaam is het volume. Voorbeeldsom: Lwl: 5. m Lord:. m Alle spantoppervlakken zijn bekend (zie Simpsontabel op blz.4.9). Als men uitgaat van spanten volgt hieruit dat de spantafstand. m is (h/. m). Men ziet dat de waterlijnlengte (L wl ) groter is dan de ordinaatlengte (L ord ). Dit betekent dat er achter ordinaat nog waterverplaatsing gegenereerd wordt. Dit moet natuurlijk meegenomen worden in de berekening van de waterverplaatsing en het drukkingspunt. Dit doet men met behulp van een eindcorrectie, zie onderstaand figuur..7
8 De ordinaatafstand h is groter dan h`. Het verschil in ordinaat afstand wordt als volgt gebruikt: ord. nr. A s.f. A * s.f. m.f. tov. ord 5 A * s.f. * m.f. a * h`/h -(*h`/h + 5) b 4 * h`/h -(h`/h + 5) * h`/h enz. De Simpson factoren worden als het ware gereduceerd in verband met een afwijkende ordinaatafstand. Op deze wijze kunnen deze eindcorrecties in de rekentabellen worden opgenomen zonder verstoring van de sstematiek van de berekening. Nu zullen de waterverplaatsing en het drukkingspunt berekend worden m.b.v. een Simpsontabel: Opmerking: h` is bepaald m.b.v. het verschil van de L wl met L ord. h` (L wl - L ord )/ m..8
9 ord. nr. A (m^) s.f. A*s.f. m.f. A*s.f.*m.f. a b SOM SOM -94. Waterverplaatsing: Drukkingspunt Xb: /*h*som h* SOM /SOM 7. m^ -.4 m We zouden de integratie ook andersom uit kunnen voeren. Uitgaande van de integraal welke het volume van het lichaam bepaalt: zt T -T ddz kunnen we eerst de integraal oplossen. T d -T A z Dit stelt voor het waterlijnoppervlak van het lichaam voor een bepaalde z. Door deze te plotten op basis van hun onderlinge afstand en het oppervlak van de aldus ontstane figuur te bepalen wordt eveneens het volume van het lichaam bepaald. Voor de bepaling van het evenwicht was ook de positie van het zwaartepunt in hoogte en in lengte van belang. Deze hoogte- en lengteligging van het zwaartepunt van het volume (het drukkingspunt) wordt nu gevonden door het statische moment van de waterverplaatsing t.o.v. respectievelijk het en het z vlak te bepalen. Afgeleid is reeds dat: z B statisch moment volume t.o.v. volume vlak waaruit volgt: z B z T A z z dz.9
10 Eerst wordt nu dus voor verschillende waarden van z een discrete voorstelling van de waterlijn gemaakt en deze vervolgens geïntegreerd tot een waterlijn oppervlak. Deze waterlijn oppervlakken worden geplot op basis van z. Elk van de ordinaten van deze figuur, voorstellende een waterlijn oppervlak, wordt vervolgens vermenigvuldigd met zijn afstand z tot het vlak en opnieuw geplot op basis van z. Van de aldus ontstane figuur wordt nu tenslotte het oppervlak bepaald, voorstellende het gevraagde statische moment. Voor het statische moment ten opzichte van het z-vlak wordt een eendere procedure gevolgd maar nu met de ordinaat oppervlakken. Door de aldus verkregen statische momenten te delen door het volume van het lichaam worden de en z coördinaat van het zwaartepunt verkregen ten opzichte van de referentie vlakken ten opzichte waarvan de statische momenten bepaald zijn. Voorbeeldsom: Hetzelfde schip als bij het vorige voorbeeld zal gebruikt worden. Gegeven:Diepgang T: 7. m Om te beginnen moet men op iedere spant de breedte van het schip weten bij een bepaalde waterlijn, bijv. de constructiewaterlijn (CWL). De breedte op elk spant is gegeven. Bovenstaande figuur stelt een waterlijn voor. Ook hier geldt weer dat een waterlijn niet.
11 precies op een spant hoeft te beginnen en te eindigen. Daarom moet ook hier weer gebruik gemaakt worden van de eindcorrectie. Zie eerste Simpsontabel op blz.4.9. Voor de CWL geldt hier ook dat de h` m en dus h`/h.65. CWL ord. nr. / br. (m) s.f s.f. m.f. s.f. m.f. a b SOM 5.8 SOM Aw: Waterlijnopp.: */*h*som 87.6 m^ Xa: wl. zwaartepunt: h* SOM /SOM m Men herhaalt deze berekening voor de andere waterlijnen (vlaklijn, /4-wl, /-wl, /4-wl). Zodoende krijgt men voor iedere waterlijn een oppervlak A w en een waterlijnzwaartepunt a. Door vervolgens deze ook weer te Simpsoneren krijgt men een waterverplaatsing, de lengteligging van het drukkingspunt b en de hoogteligging van het drukkingspunt KB; zie onderstaande Simpsontabel. Waterlijn Aw s.f. Aw s.f. Xa Aw s.f. Xa z Aw s.f. z Vlak /4-WL /-WL /4-WL CWL som 675. som som 677 Waterverplaatsing: / * (T/4) * som B in lengte Xb: som /som B in hoogte KB: som /som 5.6 m^ -.59 m 4. m.
3. BESCHRIJVING GEOMETRIE
3. BESCHRIJVING GEOMETRIE Teneinde de vorm van een lichaam eenduidig vast te leggen staat ons, afhankelijk van in hoeveel dimensies het lichaam is gedefinieerd en de complexiteit van de vorm, een aantal
wiskunde B havo 2016-I
wiskunde B havo 06-I Blokkendoos maimumscore De inhoud van de vier cilinders samen is π,5 0 = 50π ( 5) (cm ) De inhoud van de binnenruimte van de doos is ( 0 5 5 =) 50 (cm ) De inhoud van de overige blokken
Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten
Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:
Inhoud van een omwentelingslichaam
Inhoud van een omwentelingslichaam Wat is een omwentelingslichaam? Omwentelingslichamen ontstaan door het wentelen van een vlakdeel rond een rechte: de omwentelingsas Voorbeeld: volume van een (omwentelings)cilinder
Numerieke berekening van integralen met DERIVE
Numerieke berekening van integralen met DERIVE Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duffel In deze tekst maak je kennis met enkele eenvoudige algoritmen voor de numerieke berekening van bepaalde integralen.
De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig
Riemannsommen en integralen
Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom
Buiging van een belaste balk
Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Reeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Vl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert
Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten Per
11.1 De parabool [1]
![11.1 De parabool [1]](/thumbs/51/28339750.jpg "11.1 De parabool [1]")
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Fractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
Inhoud. Eenheden... 2 Omrekenen van eenheden I... 4 Omrekenen van eenheden II... 9 Omrekenen van eenheden III... 10
Inhoud Eenheden... 2 Omrekenen van eenheden I... 4 Omrekenen van eenheden II... 9 Omrekenen van eenheden III... 10 1/10 Eenheden Iedere grootheid heeft zijn eigen eenheid. Vaak zijn er meerdere eenheden
Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012
Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental
Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.)
Mathematics. - Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.) (Communicated at the meeting of October 27. 1945.) 1. In het onderstaande
wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016
Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),
Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Vergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Paragraaf 6.1 : Kwadratische formules
Hoofdstuk 6 Machtsverbanden (V Wis A) Pagina 1 van 10 Paragraaf 6.1 : Kwadratische formules Gegeven is de formule W(x) = x 2 + 8x met W de winst in euro s per uur en x het aantal producten dat per uur
dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
![dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π](/thumbs/59/43623915.jpg "dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π")
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten Voor geldt: ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Alternatief: ( )( ) Vraag 1b 4 punten Voor geldt: met geeft, en ook. De perforatie van zowel
1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE
N3 LINEAIRE INTERPOLATIE 3.18 Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een functie f en toch de waarde van de functie y = f(x) in een bepaald
MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn
Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/55/36024360.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010)
TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) 2 Juli, 2010, 14:00 17:00 uur Opmerkingen: 1. Dit tentamen bestaat uit 4 vragen met in totaal 19 deelvragen. 2. Werk nauwkeurig en netjes. Als ik het antwoord niet kan
wiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
integreren is het omgekeerde van differentiëren
Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).
EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 2010
EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 010 Datum: 13 januari 010 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal
Wiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008
Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie
Checklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
wiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan
1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan We beschouwen eerst een oneindig lange lijnlading met uniforme ladingsdichtheid λ, langs de z-as van ons coördinatenstelsel. 1a Gebruik de wet van Gauss en beredeneer
1.1 Rekenen met letters [1]
![1.1 Rekenen met letters [1]](/thumbs/41/22623929.jpg "1.1 Rekenen met letters [1]")
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/101/148944451.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn
Uitwerkingen toets emv
Uitwerkingen toets emv 24 april 2012 1 (a) Bij aanwezigheid van een statische ladingsverdeling ρ(r) wordt het elektrische veld bepaald door E = 1 ρ(r ) 4π r 2 ˆrˆrˆr dτ, V waarin V het volume van de ladingsverdeling,
Nationale Wiskunde Dagen 2018
Nationale Wiskunde Dagen 2018 Varen is rekenen bij de koopvaardij! Ger Scheepstra Docent zeemanschap MIWB We gaan een (vereenvoudigde) stabiliteit berekening van de Victoriaborg maken Voldoende stabiliteit
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Uitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
wiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Wiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Minimum-Maimumproblemen (versie 11 augustus 2008) Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid.
Verrassende uitkomsten in stromingen
Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,
Machten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur
Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Relevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Topologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
LABORATORIUM VOOR SCHEEPSBOUWKUNDE
Rapport No. 289 TH LABORATORIUM VOOR SCHEEPSBOUWKUNDE TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT De prestaties van een zeiljacht type ALC'40 met twee verschillende kielen door Ir. G. Moeyes december 1910 Inhoud Inleiding
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder
Eindexamen wiskunde B havo I
Eindexamen wiskunde B havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( 5 ) 77 0,0785 0,0034 0 R 7, ( 5 ) 70 0,0785 0,0034 0 Dus de overlevingstijd is 70
Eindexamen wiskunde b 1-2 VWO I
Eindexamen wiskunde b -2 VWO 200 - I Boottocht In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, M en. We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur. figuur
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
De vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.
Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je
Foutenberekeningen Allround-laboranten
Allround-laboranten Inhoudsopgave INHOUDSOPGAVE... 2 LEERDOELEN :... 3 1. INLEIDING.... 4 2. DE ABSOLUTE FOUT... 5 3. DE KOW-METHODE... 6 4. DE RELATIEVE FOUT... 6 5. GROOTHEDEN VERMENIGVULDIGEN EN DELEN....
Om een zo duidelijk mogelijk verslag te maken, hebben we de vragen onderverdeeld in 4 categorieën.
Beste leerling, Dit document bevat het examenverslag voor leerlingen van het vak wiskunde B vwo, eerste tijdvak (2019). In dit examenverslag proberen we een zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende
wiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor
Examen Discrete Wiskunde donderdag 7 maart, 2019
Examen Discrete Wiskunde 2018-2019 donderdag 7 maart, 2019 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Gebruik hiervoor de ruimte onder de vraag; er is in principe genoeg
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
De dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
(6 2 )( 6 ). 10 2x. ) h( ) ( 1) 1. schrijf als functie van p: K(p)= 12 p. b) substitueer zodat H een functie is van alleen q. 2.
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 1 Periode Diff/Int. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening,
Hoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
1. Trapeziumregel en Rechthoekregel
bij N5.4-7 Num.Integratie blz 1 Maart 1994 vervangt N5.4-6 NUMERIEKE INTEGRATIE Inleiding Er zijn twee omstandigheden waarbij we een integraal zouden willen berekenen maar dat niet kunnen, met de tot nu
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus