11.1 De parabool [1]
|
|
- Anja Vink
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool: Een parabool is een verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een lijn en een punt dat niet op een lijn ligt. Let op: Een parabool kun je dus op een meetkundige manier beschrijven, maar ook met behulp van een formule. Oorspronkelijk werd een parabool in de wiskunde meetkundig beschreven. Pas veel later is er hier een formule voor gekomen. 1
2 11.1 De parabool [1] Algemeen: De parabool is getekend in een assenstelsel. De top van de parabool is O(0, 0). Het brandpunt is F(½p, 0). De symmetrieas is y = 0. De richtlijn heeft de vergelijking x = -½p. Voor een punt P(x, y) op de parabool geldt: d(p, F) = d(p, l). ( x p) y x p 1 1 ( x p) y ( x p) x px p y x px p y px Er geldt: De vergelijking van de parabool me brandpunt F(½p, 0) en richtlijn l:x = -½p is y 2 = 2px. 2
3 11.1 De parabool [2] Voorbeeld 1: Van de parabool y 2 = 6x is de top (0, 0), de richtlijn x = -1½, brandpunt (1½, 0) en de symmetrieas y = 0. Pas de translatie (-3, -4) toe. (y + 4) 2 = 6(x + 3) (y + 4) 2 = 6x + 18 (y + 4) 2 16 = 6x + 2 y 2 + 8y = 6x + 2 Deze parabool heeft een top (-3, -4), een richtlijn x = -4½, brandpunt (-1½, -4) en de symmetrieas (as van de parabool) y = -4. Dit is een liggende parabool met de opening naar rechts. 3
4 11.1 De parabool [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de parabool y = ½x 2 + 2x 5. Bereken de coördinaten van het brandpunt F van de parabool en stel een vergelijking op van de richtlijn l. y = ½x 2 + 2x 5 2y = x 2 + 4x 10 2y = (x + 2) (x + 2) 2 = 2y + 14 (x + 2) 2 = 2(y + 7) T.o.v. de parabool x 2 = 2y met brandpunt (0, ½) en richtlijn y = -½ vindt er nu een translatie (-2, -7) plaats. Deze parabool heeft het brandpunt F(-2, -6½) en richtlijn l:y = -7½ 4
5 11.1 De parabool [3] Algemeen 1: De lijn y = ax + b met a 0 raakt de parabool y 2 = 2px als het stelsel y ax b 2 y 2px één oplossing heeft. (ax + b) 2 = 2px [Vergelijking 1 invullen in vergelijking 2] a 2 x 2 + 2abx + b 2 = 2px a 2 x 2 + (2ab 2p)x + b 2 = 0 [Tweedegraads vergelijking] Bij raken geldt D = 0 (2ab 2p) 2 4a 2 b 2 = 0 4a 2 b 2 8abp + 4p 2 4a 2 b 2 = 0-8abp = -4p 2 2ab = p p b 2a De lijn k met richtingscoëfficiënt a die de parabool y 2 = 2px raakt heeft vergelijking p k : y ax 2a 5
6 11.1 De parabool [3] Algemeen 2: Stel de vergelijking op van de lijn k die de parabool y 2 = 2px raakt in het punt A(x A, y A ) met p > 0 en y A > 0. Stap 1: Het punt A ligt op de halve parabool: y 2 y 2px 2px Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn k. Stel hiervoor eerst de afgeleide functie op om de richtingscoëfficiënt te berekenen: y 2px met y = u en u = 2px. dy du y' du dx 1 p p 2p 2 u 2px y 6
7 11.1 De parabool [3] Algemeen 2: Stel de vergelijking op van de lijn k die de parabool y 2 = 2px raakt in het punt A(x A, y A ) met p > 0 en y A > 0. Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn k. Stel hiervoor eerst de afgeleide functie op om de richtingscoëfficiënt te berekenen: p k : y ya ( x x A) y p y ( x x A) y y A y y p( x x ) y 2 A A A y y px px 2px A A A A A y y px px A A Algemeen: De lijn door een punt van een parabool, die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt, heet de normaal van de parabool in dat punt. 7
8 11.1 De parabool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de parabool y 2 = -10x. Stel de vergelijking op van de lijn k met richtingscoëfficiënt ½ die de parabool raakt. a = ½ (gegeven) y 2 = 2px geeft p = -5 Met behulp van k : y ax p 2a krijg je de gevraagde vergelijking 5 k : y x x Voorbeeld 2: Gegeven is de parabool y 2 = - 10x. Stel de vergelijking op van de lijn l die de parabool raakt in het punt 3 A( 1,4) 5 Met behulp van y y px px A A krijg je 4y = -5x 5 4y = -5x + 8 l: 5x + 4y =
9 11.1 De parabool [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de parabool y 2 = - 10x. Stel de vergelijking op van de lijn n die de parabool loodrecht snijdt in het punt B( 8, 9) 1 5 Met behulp van y y px px A A krijg je de raaklijn m: 9 y 5x 5 8 m: 9 y 5x 41 m: y x Voor de lijn n die hier loodrecht op staat geldt: [Gebruik hierbij dat de richtingscoëfficiënten van de lijnen m en n het product -1 moeten hebben.] n: y x c 9 5 n:5 y 9x c n: 9x 5 y c Invullen van het gegeven punt B( 8, 9) 1 5 geeft: 4 n:9x 5 y
10 11.1 De parabool [4] Algemeen: Raken de lijnen k en l door het punt P(x P, y P ), de parabool y 2 = 2px in de punten A en B, dan is De lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de parabool; Het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de parabool; een vergelijking van de lijn AB: y y px px A In het geval van de parabool (y y T ) 2 = 2p(x x T ) en een punt P(x P, y P ) buiten de parabool geldt voor de poollijn de volgende vergelijking: (y P y T )(y y T ) = p(x x T ) + p(x P x T ). A 10
11 11.1 De parabool [4] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y 2 = 4x. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt P(-2, 1) die de parabool raken. Stap 1: Gebruik de volgende vergelijking om de poollijn op te stellen: 1 y = 2x 2 2 y = 2x 4 y y px px P P Stap 2: Bepaal de snijpunten van de poollijn met de gegeven parabool. (2x 4) 2 = 4x [Invullen poollijn in parabool] 4x 2 16x + 16 = 4x 4x 2 20x + 16 = 0 x 2-5x + 4 = 0 (x 1)(x 4) = 0 x = 1 x = 4 Hieruit volgen de snijpunten (1, -2) en (4, 4) 11
12 11.1 De parabool [4] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y 2 = 4x. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt P(-2, 1) die de parabool raken. Stap 3: Stel de vergelijkingen van de beide raaklijnen op: y 2 = 2px geeft p = 2 Raaklijn in het punt (1, -2) met behulp van y y px px A A -2y = 2x y = -x 1 Raaklijn in het punt (4, 4) met behulp van y y px px A A 4y = 2x y = ½x
13 11.2 De ellips [1] Algemeen: Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BINNEN de cirkel. In het plaatje hiernaast geldt: Het punt M is het middelpunt van de ellips. De punten M en F 2 zijn de brandpunten van de ellips. De cirkel is de richtcirkel van de ellips. Er geldt: d(p, c) = PV = MV MP = r d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r d(p, F 1 ) en dus d(p, F 2 ) + d(p, F 1 ) = r. Samengevat: Een ellips is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt d(p, F 2 ) + d(p, F 1 ) = constant. De punten F 1 en F 2 zijn de brandpunten van de ellips. 13
14 De figuur hiernaast is een ellips De ellips [1] Het lijnstuk AB heet de lange as van de ellips en heeft een lengte van 2a en is een symmetrieas; Het lijnstuk CD heet de korte as van de ellips en heeft een lengte van 2b en is een symmetrieas; De punten A, B, C en D zijn de toppen van de ellips; Het snijpunt M van de symmetrieassen het het middelpunt van de ellips; De brandpuntsafstand F 1 F 2 heeft lengte 2c; Er geldt d(c, F 1 ) = d(c, F 2 ). Hieruit volgt vanwege eigenschap brandpunten: d(c, F 1 ) + d(c, F 2 ) = d(a, F 1 ) + d(a, F 2 ) 2CF 1 = a c + a + c = 2a CF 1 = a Met behulp van de stelling van Pythagoras volgt nu: a 2 = b 2 + c 2. 14
15 De vergelijking van een ellips met toppen 11.2 De ellips [1] A(-a, 0), B(a, 0), C(0, b) en D(0, -b) is x a y b 1 In het geval a 2 > b 2 zijn de coördinaten van de brandpunten (-c, 0) en (c, 0). Er geldt dan c 2 = a 2 b 2. In het geval a 2 < b 2 zijn de coördinaten van de brandpunten (0, -c) en (0, c). Er geldt dan c 2 = b 2 a 2. 15
16 11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 1: Herschrijf de vergelijking van de ellips m.b.v. kwadraatafsplitsen x y 2 4x 60y + 84 = 0 x 2 4x + 10(y 2 6y) + 84 = 0 (x 2) ((y 3) 2 9) + 84 = 0 [Kwadraatafsplitsen] (x 2) (y 3) = 0 (x 2) (y 3) 2 = 10 De translatie (2, 3) is toegepast t.o.v. de ellips x y 2 = 10 x y
17 11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 2: Geef de bovenstaande zaken van de ellips: De coördinaten van de toppen zijn (- 10, 0), ( 10, 0), (0, -1) en (0, 1). De coördinaten van de brandpunten volgen met: a 2 = 10, b 2 = 1 en c 2 = a 2 b 2 = 10 1 = 9 dus de brandpunten zijn (-3, 0) en (3, 0). Het middelpunt is (0, 0). x y De symmetrieassen zijn de x-as (y = 0) en de y-as (x = 0). 17
18 11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 3: Toepassen van de translatie geeft de bovenstaande zaken voor de ellips x y 2 4x 60y + 84 = 0 De coördinaten van de toppen zijn (2-10, 3), (2 + 10, 3), (2, 2) en (2, 4). De coördinaten van de brandpunten zijn (-1, 3) en (5, 3). Het middelpunt is (2, 3). De symmetrieassen zijn y = 3 en de x = 2. 18
19 11.2 De ellips [3] Algemeen: De lijn k die de ellips x Ax yay k : 1 a 2 b 2 x a y b 1 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking Let op: Als de vergelijking van de ellips gegeven is in de vorm b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 is de vergelijking van de raaklijn k, die de ellips raakt in A(x A, y A ) gelijk aan b 2 x A x + a 2 y A y= a 2 b 2 [Alles is met a 2 b 2 vermenigvuldigd] 19
20 11.2 De ellips [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de ellips 2x 2 + 3y 2 = 44 en het punt A(4, 2) op de ellips. Stel een vergelijking op van de lijn n die de ellips loodrecht snijdt in A. Stap 1: Stel de lijn k op die de ellips raakt in A. Met behulp van b 2 x A x + a 2 y A y= a 2 b 2 volgt 2 4x + 3 2y = 44 8x + 6y = 44 Dus k: 4x + 3y = 22 Stap 2: Stel de lijn n op die de ellips loodrecht raakt in A. N staat loodrecht op k, dus geldt: n : 3x 4y = c Invullen van A(4, 2) geeft n : 3x 4y = 4 20
21 Voorbeeld 2: De lijn k: 2x +3y = 16 raakt de ellips Bereken a De ellips [3] x y a 16 Stap 1: Stel een alternatieve vergelijking voor de raaklijn op. x y 1 16x a y 16a 2 a 16 Stel dat het raakpunt A(x A, y A ) is. Dit geeft de raaklijn 16x A x + a 2 y A y= 16a 2 Deze raaklijn valt samen met k: 2x +3y = 16. Stap 2: Bepaal de coördinaten van het raakpunt x A a ya 16a Er geldt: Uit a ya 16a volgt y A = Invullen in 2x + 3y = 16 geeft x = 3½ en dus het raakpunt A(3½, 3). 21
22 Voorbeeld 2: De lijn k: 2x +3y = 16 raakt de ellips Bereken a 2. Stap 3: Bereken de waarde van a 2. 16x A 16a a 2 2 a De ellips [3] x y a
23 11.2 De ellips [4] Algemeen: Raken de lijnen k en l door het punt P(x P, y P ) en de ellips x a y b 1 in de punten A en B dan is: De lijn AB de poollijn van B t.o.v. de ellips; Het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de ellips; xpx ypy een vergelijking van de lijn AB: 1 a b Let op: Als de vergelijking van de ellips gegeven is in de vorm b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 is de vergelijking van de poollijn gelijk aan b 2 x P x + a 2 y P y= a 2 b 2 [Alles is met a 2 b 2 vermenigvuldigd] 23
24 Algemeen: Bij de ellips ( x x ) ( y y ) a b M M P(x P, y P ) buiten de ellips, dan wordt de vergelijking van de poollijn Een alternatieve schrijfwijze is: 11.2 De ellips [4] 1 ( xp xm )( x xm ) ( yp ym )( y ym ) 1 a b b ( x x )( x x ) a ( y y ) a b P M M P M en een punt 24
25 11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 1: Stel de poollijn van A ten opzichte van de ellips op. Dit is 7x + 6y = 40 Stap 2: Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op Herschrijven van de vergelijking van de poollijn geeft 6y = 40 7x. Dit kan ingevuld worden in de vergelijking van de ellips om de raaklijnen te vinden. 25
26 11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 2: 6x 2 + (-7x + 40) 2 = 240 6x x 2 560x = x 2 560x = 0 11x 2 112x = 0 D = 576, dus D = x 4 x 22 Invullen van x = 4 geeft het raakpunt (4, 2) 68 Invullen van x = geeft het raakpunt,
27 11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 3: Stel de vergelijkingen van de gevraagde raaklijnen op: De raaklijn in (4, 2) is: 4x + 6 2y = 40 x + 3y = 10 De raaklijn in , is: x 6 y 40 17x 9 y
28 11.3 De hyperbool [1] Algemeen: Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BUITEN de cirkel. Let op: Als het punt BINNEN de cirkel ligt, is er sprake van een ellips. In de figuur hiernaast geldt: d(p, c) = PV = MP MV = d(p, F 1 ) r. d(p, F 2 ) = d(p, F 1 ) r. d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r. Als je dit een aantal keer herhaalt ontstaat één van de hyperbooltakken van de hyperbool. 28
29 11.3 De hyperbool [1] Algemeen: Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BUITEN de cirkel. Let op: Als het punt BINNEN de cirkel ligt, is er sprake van een ellips. De andere hyperbooltak ontstaat door de richtcirkel te nemen met middelpunt (brandpunt van de hyperbool) F 2 en straal r en dan hetzelfde te doen als bij de richtcirkel met middelpunt (brandpunt van de hyperbool) F 1 en straal r. Hiervoor geldt: d(p, F 2 ) d(p, F 1 ) = r. Algemeen: Voor alle punten P op een hyperbool geldt: d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r 29
30 11.3 De hyperbool [1] Hiernaast is een hyperbool getekend: F 1 en F 2 zijn de brandpunten van de hyperbool; de lijn F 1 F 2 is de symmetrieas van de hyperbool; de punten A en B zijn de toppen van de hyperbool; De middelloodlijn van het lijnstuk F 1 F 2 is de andere symmetrieas van de hyperbool; Het snijpunt van de symmetrieassen is het middelpunt M; AB = 2a en F 1 F 2 (brandpuntsafstand) = 2c. Voor het punt B op de hyperbool geldt: d(b, F 1 ) d(b, F 2 ) = 2a + AF 1 BF 2 omdat AF 1 = BF 2 geldt er: d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a; 30
31 11.3 De hyperbool [1] Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en x y brandpunten F 1 (-c, 0) en F 2 (c, 0) is 1. Daarbij is b 2 = c 2 a 2. a b 31
32 11.3 De hyperbool [1] Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(0, b) en B(0, -b) en brandpunten F 1 (0, c) en F 2 (0, -c) is x a y b 1 Daarbij is a 2 = c 2 b 2. 32
33 11.3 De hyperbool [2] In het plaatje hierboven is een hyperbool getekend (zwart) Deze parabool heeft twee (blauwe) scheve asymptoten. Dit zijn de lijnen b b y x en y x a a 33
34 x y 1 a b b x a y a b a y b x a b b y x b a b b y x b y x b a a 11.3 De hyperbool [2] De vergelijkingen van de scheve asymptoten kunnen als volgt gevonden worden: Als x naar oneindig gaat valt de term b 2 als het ware weg. Hieruit volgt: b b y x y x a a b b y x y x a a 34
35 11.3 De hyperbool [3] Algemeen: De lijn k die de hyperbool x Ax yay k : 1 a 2 b 2 x a y b 1 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking Algemeen: x y Raken de lijnen l en m door het punt P(x P, y P ) de hyperbool a b A en B dan is: de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de hyperbool; het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de hyperbool; 1 in de punten een vergelijking van de lijn AB: x x a y y b P P 1 35
36 11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel een vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Stap 1: Stel de vergelijking op van de lijn k die de hyperbool raakt in A. 2 4x 3 2y = 20 8x 6y = 20 k: 4x 3y = 10 36
37 11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel een vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Omdat lijn n loodrecht op lijn k staat geldt: n: 3x + 4y = c. n gaat door het punt A(4, 2). Invullen van het punt A in de lijn n geeft: n: 3x + 4y =
38 11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 1: Met behulp van de vergelijking voor de poollijn kan deze worden opgesteld: 2-10x 3-10y = 20-2x + 3y = 2 Stap 2: Invullen van de gevonden vergelijking in de vergelijking van de hyperbool levert de beide raakpunten op bij deze poollijn. 2x 3y 2 3y 2x 2 2x 3y 20 6x 9 y 60 38
39 11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 2: Invullen van de gevonden vergelijking in de vergelijking van de hyperbool levert de beide raakpunten op bij deze poollijn. 6x 2 (2x + 2) 2 = 60 6x 2 (4x 2 + 8x + 4) = 60 6x 2 4x 2 8x 4 = 60 2x 2 8x 64 = 0 x 2-4x 32 = 0 (x +4)(x 8) = 0 x = -4 of x = 8 Invullen van x = -4 geeft het raakpunt (-4, -2). Invullen van x = 8 geeft het raakpunt (8, 6). 39
40 11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 3: Met behulp van de twee gevonden raakpunten, kunnen de raaklijnen opgesteld worden. De raaklijn in (-4, -2) is: 2-4x - 3-2y = 20 4x - 3y = -10 De raaklijn in (8, 6) is: 2 8x - 3 6y = 20 8x - 9y = 10 40
41 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Hierboven zijn een drietal kegelvlakken. De kegelsnede wordt steeds doorsneden door een vlak: Bij de eerste kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een ellips; Bij de tweede kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een parabool; Bij de derde kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een hyperbool. De vorm van de doorsnede hangt af van de hoek van het vlak. 41
42 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Een kegelvlak ontstaat door het wentelen van de lijn l om de x-as. Hierdoor ontstaan twee kegels zonder grondvlak met de gemeenschappelijke top O. De tophoek van de kegel is 2α. Doorsneden van een vlak V met een kegelvlak heten kegelsneden. 42
43 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Neem aan dat het vlak V een hoek φ maakt met de x-as: φ = 90 en V gaat door O. Er ontstaat een puntcirkel als doorsnede; φ = 90 en V gaat niet door O. Er ontstaat een cirkel als doorsnede; φ > α en V gaat door O. Er ontstaat een puntcirkel als doorsnede; φ = α en V gaat door O. Er ontstaat een lijn als doorsnede; 0 < φ < α en V gaat door O. Er ontstaat een doorsnede van twee snijdende lijnen. 43
44 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Neem aan dat het vlak V een hoek φ maakt met de x-as: φ > α en V gaat niet door O. De doorsnede is een ellips; 0 < φ < α en V gaat niet door O. De doorsnede is een hyperbool; φ = α en V gaat niet door O. De doorsnede is een parabool. 44
45 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Algemeen: De algemene vergelijking van de tweede graad in x en y is: ax 2 + bxy + cy 2 + dz + ey + f = 0. Enkel situaties met b = 0 komen aan bod. Afhankelijk van de waarden van a, b, c, d, e en f kunnen kegelsneden zoals de hyperbool, ellips en parabool ontstaan. Voorbeeld 1: Onderzoek de kegelsnede x 2 + y 2 4x 8y 5 = 0 x 2 + y 2 4x 8y 5 = 0 x 2 4x + y 2 8y 5 = 0 (x 2) (y 4) = 0 [kwadraatafsplitsen] (x 2) 2 + (y 4) 2 = 25 Dit is een cirkel met middelpunt (2, 4) en straal 5. 45
46 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede y 2 + 4x 6y + 17 = 0 y 2 + 4x 6y + 17 = 0 y 2 6y = -4x 17 (y 3) 2 9 = -4x 17 (y 3) 2 = -4x 8 (y 3) 2 = -4(x + 2) Dit is een parabool met top (-2, 3) want t.o.v. de parabool y 2 = -4x met top (0, 0) heeft een translatie (-2, 3) plaatsgevonden. Van y 2 = -4x is het brandpunt (-1, 0) want p = -2 en ½p = -1. Van de gegeven kegelsnede is het brandpunt F(-1-2, 0 + 3) = F(-3, 3). Er geldt: De vergelijking van de parabool met brandpunt F(½p, 0) en richtlijn l:x = -½p is y 2 = 2px. 46
47 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y = 0 25x 2 16y 2-100x + 96y = 0 25x 2 100x 16y y 444 = 0 25(x 2 4x) 16(y 2 6y) 444 = 0 25((x 2) 2 4) 16((y 3) 2 9) 444 = 0 25(x 2) (y 3) = 0 25(x -2) 2 16(y 3) 2 = 400 ( x 2) ( y 3) Er is sprake van een hyperbool met middelpunt (2, 3). 47
48 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y = 0 ( x 2) ( y 3) Met a 2 = 16 en b 2 = 25. Middelpunt: Er is sprake van een hyperbool met middelpunt (2, 3). Toppen: x y De hyperbool 1 heeft toppen A(-4, 0) en B(4, 0) Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en brandpunten F 1 (-c, 0) en x y F 2 (c, 0) is 1. a b Daarbij is b 2 = c 2 a 2. De toppen van de gegeven kegelsnede zijn A(-4 + 2, 3) = A(-2, 3) en B(4 + 2, 3) = B(6, 3) 48
49 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y = 0 ( x 2) ( y 3) Brandpunt: c 2 = a 2 + b 2 = = 41 De hyperbool x y F 1 (- 41, 0) en F 2 ( 41, 0). Met a 2 = 16 en b 2 = 25. heeft als brandpunten Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en brandpunten F 1 (-c, 0) en x y F 2 (c, 0) is 1. a b Daarbij is b 2 = c 2 a 2. De brandpunten van de gegeven kegelsnede zijn F 1 (2-41, 3) en F 2 (2 + 41, 3). 49
50 11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y = 0 ( x 2) ( y 3) Met a 2 = 16 en b 2 = 25. Asymptoten: x y De hyperbool 1 heeft als asymptoten De gegeven kegelsnede heeft als asymptoten y 3 ( x 2) y x y x en y x y 3 ( x 2) y x
Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatie9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
Nadere informatieHoofdstuk 10 Kegelsneden uitwerkingen
Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Kern Kegeldoorsneden a Loodrecht op de as. b Ellips: hoek tussen vlak en as groter dan de halve tophoek en niet door de top. Parabool:
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieUitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.
Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Nadere informatiex y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
Nadere informatieExponenten en Gemengde opgaven logaritmen
08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1-2 vwo I
Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieKegelsneden. Figuur 1 Figuur 2 PYTHAGORAS FEBRUARI 2015
Kegelsneden Aflevering 1 Ellipsen, parabolen en hyperbolen zijn mooie figuren die in de natuur voorkomen. Denk maar aan een steen die door de lucht vliegt, of een komeet die om de zon beweegt. In de techniek
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatie4 Formules en figuren
4 Formules en figuren Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten Blok Formules en figuren van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (014) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun
Nadere informatieAnalytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)
Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2
6) egelsneden x xy y x y xy : 5 4 4, zodat de componenten zijn r x4y 0 en r xy 0 : 4y 4yx y y x 4y 4, zodat de componenten zijn r y 0 en E x 4y 4 x y x y x y x y :, zodat de componenten zijn C x y en C
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatiesin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )
G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(
Nadere informatieKegelsneden. 1 Kegelsnede. John Val. 26th March 2014
Kegelsneden John Val 6th March 04 Kegelsnede Een kegelsnede is de doorsnede van een kegel en een vlak. In deze tekst zal worden aangetoond dat de doorsnede een punt, een lijn, een lijnenpaar, een cirkel,
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO B2
UITWERKINGEN VOOR HET VWO HOODTUK 7 : RKLIJNEN KERN CIRKEL EN RKLIJNEN ) Teken M en M. De raaklijnen in staat loodrecht op M. Voor de raaklijn in geldt hetzelfde. M ) Gebruik of de stelling van de omtrekshoek
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieAantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!
Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieEen sangaku (en niet alleen) als het regent
Een sangaku (en niet alleen) als het regent DICK KLINGENS (dklingens@gmail.com) Krimpen aan den IJssel, juli 7. Vooraf Ik bewijs eerst enkele eigenschappen van de driehoek die in verband staan met het
Nadere informatieBewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Nadere informatieBogen op kegelsneden in Cabri
Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieOver conflictlijnen. Gevolg
Over conflictlijnen Een synthetische behandeling [ Dick Klingens] Definitie. De afstand van een punt X tot een gegeven punt A is de lengte van het lijnstuk XA. In plaats van die lengte noemen we ook wel
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieDe Stelling van Pascal Inhoud
De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2016-II
wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Dinsdag 22 juni uur
Wiskunde rofi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag juni 13.30 16.30 uur 19 99 Dit eamen bestaat uit 15 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieOrigami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Wiskunde B
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten Voor geldt: ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Alternatief: ( )( ) Vraag 1b 4 punten Voor geldt: met geeft, en ook. De perforatie van zowel
Nadere informatieEindexamen wiskunde B pilot havo II
Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-I
wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur
Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieVlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatieOAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieStraal van een curve
Straal van een curve Arnold Zitterbart Schwarzwald-Gymnasium Triberg Duitsland (Vertaling: L. Sialino) Niveau Vwo-scholieren Hulpmiddelen Grafiek toepassing, Run-Matrix toepassing Doel Bepaal de straal
Nadere informatie