Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. Bij dit tentamen mogen geen rekenmachines of Notebooks gebruikt worden. Vermeld zowel op de presentiekaart als op het aanwezige doorslagpapier naast de gangbare gegevens zoals uw naam, identiteitsnummer, adres, enz. in de rechterbovenhoek ook bij welke faculteit u bent ingeschreven (TN, W&I,...) of dat u een VWO student bent. Maak uw werk bij voorkeur op het doorslagpapier. Lever het origineel in en neem de doorslag mee naar huis. Met de doorslag kunt u uw eigen werk beoordelen. De uitwerking van het tentamen vindt u na vandaag op StudyWeb. De uitslag wordt uiterlijk donderdag 4 februari 2010 bekendgemaakt op de publicatieborden van de studentenadministraties van de faculteit Technische Natuurkunde en Wiskunde. Als u het niet eens bent met uw cijfer, neem dan vóór 14 februari per contact op met de bij de uitslag vermelde docent om het tentamen te bespreken. Bij de bespreking dient u de eigen beoordeling mee te brengen.

2 Opgave 1 - In het XY-vlak is de impuls van een deeltje met constante massa m als functie van tijd, t, gegeven als: p() t ( at2) ˆi( btc) ĵ. Hierin zijn a, b en c constanten. a1. Leid af wat de dimensies zijn van a, b en c. a2. Bepaal de kracht die op het deeltje werkt. - In het XY-vlak heeft een voorwerp de volgende snelheidsvector: v( t) R sin( t) ˆi+ Rcos( t) ˆ j. R en zijn constanten. b. Laat zien dat de component van de versnellingsvector die loodrecht staat op de snelheidsvector, gelijk is aan v 2 / R, met v de grootte van de snelheid van het voorwerp. - De massieve kegel in figuur 1 heeft een variabele massadichtheid, () z. Deze massadichtheid wordt gegeven door () z C z. De hoogte van de kegel is h en de straal van het bovenvlak is R (zie figuur 1). c. Bepaal x-, y- en z-coördinaat van het massamiddelpunt van de kegel. Figuur 1 - zie volgende pagina -

3 Opgave 2 Blok A met een massa m A bevindt zich op een hellend vlak waarvan de hellingshoek α variabel is. Blok A is met een koord via twee vaste katrollen en één losse katrol verbonden aan een verticale wand (zie figuur 2). Aan de losse katrol hangt een blok B met massa m B. De katrollen en het koord zijn massaloos. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen blok A en het hellende vlak is μ s ; de kinetische wrijvingscoëffciënt is μ k. De grootte van de versnelling van de zwaartekracht is g. A α g B Figuur 2 a. Teken voor ieder voorwerp een apart krachtendiagram (free-bodydiagram) en bereken voor welke waarden van α het systeem in rust blijft. Hoek α wordt nu zo groot gemaakt dat blok A versneld de helling af beweegt. b. Bereken de versnelling waarmee blok B naar beneden beweegt. - zie volgende pagina -

4 Opgave 3 Een massa m bevindt zich in rust op positie (-R, 0), boven aan een cirkelvormige baan zoals geschetst in figuur 3. De baan heeft een straal R. y m 30 R 30 x P Figuur 3 Op t = 0 wordt de massa losgelaten en beweegt wrijvingsloos naar beneden. Nadat de massa 1/3 cirkel heeft afgelegd komt hij met snelheid v P aan in punt P. Vanaf het punt P beweegt de massa over een lineair stuk dat een hoek van 30 maakt met de x-as. Op dit stuk ondervindt de massa een wrijvingskracht F w gekarakteriseerd door een kinetische wrijvingscoëfficiënt μ k en een statische wrijvingscoëfficiënt μ s. De grootte van de valversnelling is g. a. Geef een uitdrukking voor de snelheid v P in punt P. b. Bereken de totale arbeid die de wrijvingskracht levert totdat de massa tot stilstand komt. c. Bereken het gemiddelde vermogen geleverd door de wrijvingskracht op de massa, tussen het punt P en het punt waarop de massa tot stilstand komt. - zie volgende pagina -

5 Opgave 4 In het XY-vlak bevinden zich op tijdstip t = 0 twee deeltjes met identieke massa, m, op de posities: x1(0) 0,0, x2(0) 0,1. De snelheid van de deeltjes wordt beschreven door: v1 v0ˆ i, v v ˆiˆj. 2 0 a. Toon aan dat de deeltjes botsen. Na de botsing worden de snelheden van de deeltjes beschreven door: v 1 v 2 A 3ˆiˆj, B 4ˆi3ˆj. b. Druk de coëfficiënten A en B uit in v 0. c. Druk de hoeveel energie die tijdens de botsing verloren is gegaan uit in v 0. - EINDE VAN HET TENTAMEN -

6

7 FORMULEBLAD MECHANICA 1 Uitwendig product: A B = (A y B z A z B y )î + (A zb x A x B z )ĵ + (A xb y A y B x )ˆk Goniometrische formules: Cosinusregel: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Sinusregel: sin α a = sin β b = sin γ c sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin 30 o = cos 60 o = 1 2, sin 45o = cos 45 o = 1 2 2, sin 60 o = cos 30 o =