Statistiek: Herhaling en aanvulling

Transcriptie

1 Statistiek: Herhaling en aanvulling 11 mei Algemeen Statistiek is de wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren om een beter inzicht te krijgen in de aard, de omvang en de samenhang van de te onderzoeken verschijnselen. Deze gegevens kunnen voortkomen uit de medische wereld, de sportwereld, de politiek, de industrie,... De beschrijvende statistiek is dat deel van de statistiek dat de eigenschappen of kenmerken van de steekproef samenvat aan de hand van tabellen, getallen (gemiddelde, mediaan, standaardafwijking,...) en grafieken (staafdiagram, stengel-bladdiagram, boxplot, histogram,...). Het verder analyseren en formuleren van besluiten alsook het maken van voorspellingen is het onderwerp van een ander deel van de statistiek: de verklarende statistiek. 2 Steekproef en populatie Vaak is men geïnteresseerd in een kenmerk van een groep dingen of personen, of van een mening. De groep individuen of objecten waarvan we het kenmerk willen onderzoeken, noemen we de populatie. Meestal is het ondoenbaar of onmogelijk om de gehele populatie te onderwerpen aan een onderzoek. Daarom nemen we vaak een klein gedeelte van de populatie, een steekproef. Een fundamenteel gegeven in de statistiek is dat je uit slechte data nooit goede besluiten kunt trekken. Een goed opgestelde steekproef of experiment vormt dus de basis van elk statistisch onderzoek. Een goede steekproef moet steeds representatief zijn. Dit wil zeggen dat de steekproef een correct beeld moet geven van de verscheidenheid binnen de populatie, en dat in de steekproef dus alle deelverzamelingen van de populatie evenredig vertegenwoordigd moeten zijn. Voorbeeld: een kok eet niet een hele pan soep leeg om uitspraken te doen over de kwaliteit. Wel belangrijk is dat vooraleer hij proeft er goed wordt geroerd. De eetlepel soep die beoordeeld wordt, moet overeenkomen met (of: moet representatief zijn voor) het geheel. 1

2 3 Niet-gegroepeerde frequentietabellen 3.1 Frequentie van een waarnemingsgetal We voeren eerst enkele begrippen in: De enkelvoudige absolute frequentie f i is het aantal keer dat een waarnemingsgetal x i voorkomt. De cumulatieve absolute frequentie cf i is het aantal waarnemingsgetallen kleiner of gelijk aan x i. De relatieve frequenties rf i en rcf i geven de verhouding van de absolute frequenties tot het totale aantal waarnemingen n weer. We krijgen rf i = f i en rcf n i = cf i. n 3.2 Frequentietabel Voorbeeld: We tellen bij 25 gezinnen het aantal kinderen en we verkrijgen onderstaande gegevens: Om een beter overzicht te krijgen, kunnen we de waarnemingsgetallen ordenen: Vervolgens stellen we deze gegevens voor in een frequentietabel: Opmerkingen: x i f i rf i rf i (in %) cf i crf i crf i (in %) % % % % % % % % % % % % De som van de absolute enkelvoudige frequenties f i is steeds gelijk aan het totale aantal waarnemingen n. De som van de relatieve enkelvoudige frequenties rf i is steeds gelijk aan 1 (of 100%). Door afrondingen kan er eventueel een lichte afwijking optreden. 2

3 Gemiddelde Het gemiddelde x van de waarnemingsgetallen (dus het gemiddeld aantal kinderen per gezin) berekenen we als volgt: x = fi x i fi = f 1x 1 + f 2 x f n x n = f 1 + f f n 25 = 1.88 De index i geeft steeds de rij aan in de frequentietabel, en n is steeds de laatste rij. 3.3 Grafische voorstelling De enkelvoudige frequenties kunnen voorgesteld worden door een staafdiagram (andere voorstellingen zoals een schijfdiagram zijn ook mogelijk). De gegevens uit het voorbeeld zijn in onderstaande figuur voorgesteld als een staafdiagram. 4 Gegroepeerde frequentietabellen (klassentabellen) Voorbeeld We bepalen de lichaamslengte in cm van jarige jongens, afgerond op de eenheid: 3

4 Door de omvang van deze gegevens zou een niet-gegroepeerde frequentietabel zeer onoverzichtelijk zijn (deze zou veel te veel rijen bevatten). Daarom kiezen we ervoor om de gegevens te groeperen in klassen, zodanig dat: elk waarnemingsgetal tot precies één klasse behoort. elke klasse vertegenwoordigd wordt door het klassenmidden. aan de hand van het aantal waarnemingsgetallen in een klasse de klassenfrequenties berekend worden. 4.1 Definities We voeren weerom enkele begrippen in: Elke klasse heeft klassengrenzen: een ondergrens en een bovengrens. Het verschil tussen beide is de klassenbreedte. De klasse [150, 154[ heeft als ondergrens 150 en als bovengrens 154. De klassenbreedte is 4. Elke klasse heeft ook een klassenmidden m i. Dit is het gemiddelde van de klassengrenzen. De klasse [150,154[ heeft als klassenmidden 152. Het aantal waarnemingsgetallen in een klasse is de klassenfrequentie of kortweg de frequentie f i. De enkelvoudige absolute frequentie f i van een klasse is het aantal gegevens x i (of waarnemingsgetallen) dat tot die klasse behoort. De cumulatieve absolute frequentie cf i van een klasse is het aantal gegevens x i dat tot die klasse en de lagere klassen behoort. De relatieve frequenties rf i en rcf i van een klasse geven de verhouding van de absolute frequenties tot het totale aantal waarnemingen n (of de omvang van de steekproef) weer. 4

5 4.2 Klassentabel klasse m i f i rf i cf i rcf i [150, 154[ % 2 2% [154, 158[ % 9 9% [158, 162[ % 20 20% [162, 166[ % 36 36% [166, 170[ % 58 58% [170, 174[ % 72 72% [174, 178[ % 83 83% [178, 182[ % 91 91% [182, 186[ % 96 96% [186, 190[ % 99 99% [190, 194[ % % Gemiddelde We kunnen ook het (benaderde) gemiddelde x berekenen met behulp van de klassentabel. Hiertoe maken we gebruik van de klassenmiddens m i. Het bekomen resultaat is een benaderde waarde van het werkelijke gemiddelde. fi m i x = = f 1m 1 + f 2 m f n m n fi f 1 + f f n = 100 = Grafische voorstelling van een klassentabel De enkelvoudige klassenfrequenties kunnen voorgesteld worden door een histogram of een enkelvoudig frequentiepolygoon. Histogram De enkelvoudige klassenfrequenties worden voorgesteld door rechthoeken, waarvan de oppervlakte evenredig is met de bijbehorende frequentie. De gegevens uit het voorbeeld zijn in onderstaande figuur voorgesteld als een histogram. 5

6 Frequentiepolygoon Dit is een lijngrafiek die de enkelvoudige frequentie weergeeft. De gegevens uit het voorbeeld zijn in onderstaande figuur voorgesteld als een frequentiepolygoon. 6

7 7