Ontwerponderzoek Paper 1: definitiefase

Transcriptie

1 Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen Ontwerponderzoek Paper 1: definitiefase Naam auteur Vakgebied Titel Onderwerp Opleiding Doelgroep Sleuteltermen Dickens van der Werff, ir Wiskunde Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen Wiskundige denkactiviteit Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Havo-4 klas Wiskunde B Wiskunde, denkactiviteit, vergelijkingen, plan van aanpak, vragen stellen Links -- Bibliografische referentie Van der Werff, D. (2013). Denkstappen maken bij het werken met vergelijkingen. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer Begeleider(s) Beoordelaar(s) Datum Peter Uylings Lidy Elzinga, Erik Joling 11 november (wijzigingen zijn in blauw aangegeven) Inhoudsopgave: pagina Probleembeschrijving 2 Probleemanalyse 3 Verkenning van oplossingen 4 Ontwerphypothese en ontwerpregels 6 Evaluatieplan 6 Tijdsplan 7 1

2 Probleembeschrijving Na de behandeling van de begrippen lineaire- en kwadratische verbanden, en het tekenen van de grafieken van deze functies aan het begin van het schooljaar van klas 4-Havo Wiskunde B worden in hoofdstuk 3 van Getal en Ruimte deze onderwerpen verder uitgebreid met het behandelen van oplossingsmethoden voor vergelijkingen. Er zijn zoveel verschillende mogelijkheden om complexere opgaven op te lossen dat het voor leerlingen lastig is om dit soort opgaven routinematig aan te pakken. Bij het afnemen van een toets blijken mijn leerlingen moeite te hebben om een plan van aanpak te maken. Ze weten niet hoe te beginnen of lopen vast. Ze herkennen vaak wel de problemen, maar zien geen mogelijkheden om de problemen efficiënt aan te pakken. Uit gesprekken met collega-wiskundedocenten komt bij bespreking van de aanpak van dit hoofdstuk naar voren dat voor het vinden van een oplossing door leerlingen vaak de meest arbeidsintensieve methode wordt gebruikt: bijvoorbeeld wordt de abc-formule bij voorkeur standaard toegepast. Nadelen van die aanpak zijn de lange werktijd en een hogere foutkans als gevolg van het noodzakelijke rekenwerk. Samenvattend is het probleem dat met dit ontwerponderzoek aangepakt wordt: Probleem: Leerlingen van klas 4-Havo Wiskunde B hebben moeite om een wijze van aanpak te kiezen bij het oplossen van een opgave met vergelijkingen. Mijn wens die samenhangt met het oplossen van het probleem: Het begeleiden van leerlingen van een reproductieve aanpak naar werken met inzicht. 2

3 Probleemanalyse Van leerlingen wordt verwacht dat zij een koppeling kunnen maken tussen algebraïsche abstracties en grafische representaties. Leerlingen hebben problemen om het daarbij horende rijke cognitieve schema op een overzichtelijke wijze te ordenen. Vakinhoudelijk gaat het bij het Hoofdstuk 3 Vergelijkingen en ongelijkheden van Getal en Ruimte om het toepassen van verschillende soorten oplossingsmethoden (ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen / transleren en oplossen met behulp van de discriminant) en het kunnen schakelen tussen algebraïsche vergelijkingen en grafische weergaven van functies. Daarbij heeft de leerling vaardigheden nodig zoals het toepassen van (reken-)regels en formules en moet de leerling vertrouwd zijn met het werken met hulpmiddelen zoals de grafische rekenmachine en het maken van een schets of tekening. Vaak ontbreekt bij leerlingen het inzicht in het centraal verbindend concept. De beschikbare kennis valt uiteen in onsamenhangende gegevens of in een verbrokkeld cognitief schema (van Streun, 2012). Als leerlingen geen feitelijke kennis en vaardigheden kunnen toepassen binnen een routinematige aanpak blijven ze steken op het weten dat niveau. Veelal vallen leerlingen terug op maniertjes met behulp van de grafische rekenmachine. Wanneer leerlingen worden uitgedaagd om zelf een analyse van de probleemsituatie te maken en een bijbehorende zoekprocedure te ontwikkelen (Polya, 1945) kunnen ze zelfstandig de stap naar het weten hoe niveau leren zetten. Ik noem drie mogelijke oorzaken van het probleem: Oorzaak 1. De leerling heeft onvoldoende inzicht om in alternatieven te kunnen denken. Een leerling vindt soms één methode van aanpak leren al moeilijk genoeg. Als een leerkracht met alternatieve oplossingen komt kunnen de leerlingen dat echter verwarrend vinden. Oorzaak 2. De leerling heeft onvoldoende overzicht om uit meerdere mogelijkheden een aanpak te kiezen. De leerling kon niet de juiste keuze maken voor een bepaalde aanpak. Hij of zij had wel kennis van de verschillende gereedschappen maar wist niet meer voor welke klus het kon worden ingezet. Oorzaak 3. De leerling beschikt over te beperkte kennis van de betreffende onderwerpen. Het onderwerp werd wel in de les behandeld, maar werd niet genoeg door de leerling geoefend, waardoor deze de manier om het op te lossen was vergeten. 3

4 Verkenning van oplossingen Oplossing 1: het vinden van alternatieven Aanvullend lesmateriaal ontwerpen waarbij gevraagd wordt om op verschillende manieren, dus door middel van het vinden van alternatieven een oplossing te vinden. Daarbij aansluiting zoeken bij de voorkeur van een leerling om op een meer talige, algebraïsche of een meer beeldende manier betekenis te geven aan de te verwerven kennis, en tot meer inzicht te komen. Er op een andere manier naar kijken kan tot het vinden van een oplossing leiden. Voorbeeld: als een algebraïsche opzet niet meteen wil lukken kun je eerst een schets van het probleem maken. Zo kunnen eerder de leeractiviteiten integreren en creatief toepassen worden bereikt. Denken in alternatieven kan voor leerlingen de weg openen naar een oplossing. Als leerlingen op verschillende manieren oplossingen kunnen ontdekken voor een opgave, kan er meer overzicht ontstaan over de beschikbare mogelijkheden. Als er voor de leerling meerdere mogelijkheden zijn om een probleem aan te pakken kan de kans dat zij of hij bij het oplossen van een opgave vastloopt kleiner worden. Als de leerling meer inzicht krijgt kan het zelfvertrouwen worden versterkt. Het accent van deze aanpak ligt bij het hogere leeractiviteiten-niveau: creatief toepassen, waarbij de leerlingen kennis gebruiken in een nieuwe, onbekende situatie (Ebbens & Ettekoven, 2009). Ook ontstaan er meer mogelijkheden de lessen te kunnen differentiëren, hogere denkvaardigheden aan te spreken en kunnen in de les meer vakoverstijgende voorbeelden worden betrokken. Oplossing 2: vragen stellen en een plan maken Voor het verkrijgen van inzicht moeten steeds de vragen worden beantwoord: wat, hoe, waar, waarom? Inzicht veronderstelt kennis bij de leerlingen van het doel en de belangrijkste kenmerken, van voorbeelden en argumenten. Nieuwe kennis moet steeds aan bestaande kennis worden verbonden. Deze leerhouding kan voor de leerlingen worden verbeeld door: doe eerst een stap terug (wat weet je) voordat je stappen vooruit zet (wat kun je ermee doen). Door gestructureerd vragen te stellen komt het redenatie-proces op gang, en kunnen denkstappen gemaakt worden. Het stimuleert de wiskundige denkactiviteit van leerlingen om zelf wat te bedenken. Polya (1945) benoemt daarbij de volgende vier te nemen stappen: 1. Eerst het probleem begrijpen 2. Een plan maken 3. Het plan uitvoeren 4. Terugkijken op je werk en nadenken hoe het beter kan Door vragen te stellen en denkstappen te benoemen kan het overzicht bij de leerling toenemen. Activerende vragen stellen in de klas kan ook bijdragen aan een positief leerklimaat en roept verschillende vormen van analytisch denken op (Marzano, 2005). Het leeractiviteiten-niveau integreren: nieuwe kennis verbinden aan bestaande kennis kan het wendbaar gebruik van kennis stimuleren (Ebbens & Ettekoven, 2009). 4

5 Oplossing 3: betekenis geven aan kennis Meer betekenis geven aan het onderwerp, zodat de leerling de gebruikswaarde van kennis inziet. Bij het maken van oefeningen het gesprek met de leerling aangaan om het leer- en denkproces van de leerling zichtbaar te maken en daarbij de leerling feedback te geven. Om nieuwe kennis te verwerven en te integreren is oefening en reflectie op de gevonden oplossing nodig. Daarbij kan het naast elkaar zetten van verschillende oplossingen het gebruik van de kennis stimuleren. Volgens van Streun (2012) kan een blokkade in de ontwikkeling van de mentale voorstelling vermeden worden als heuristische methoden worden uitgeprobeerd, zoals het maken van een schets of het noteren van steekwoorden, om het denkproces gaande te houden. Door de kennis-basis te versterken kan meer overzicht over de mogelijkheden ontstaan om het probleem op te lossen. Het gaat om een ordening van de door ervaring verworven kennis van methoden. Keuze voor een oplossing Gekozen is voor oplossing 2, het ordenen van denkstappen bij het oplossen van een complexe opgave, zodat er bij een leerling inzicht over de wijze van aanpak kan ontstaan. De leerlingen kunnen daarbij heuristische methoden uitproberen om tot een oplossing te komen (Kindt, 2003). In mijn lessen probeer ik tijdens de fase van nagaan of de uitleg bij de leerling is aangekomen (en het zodanig verwerkt is dat de leerling het zelf kan toepassen) zo alert mogelijk te zijn op leerlingen die bij het vak wiskunde een gebrek aan zelfvertrouwen lijken te vertonen. Het komt voor dat een leerling zichzelf in de weg zit door een te lage zelfwaardering van eigen kunnen voorop te zetten. Dat zie ik dus nooit kan een typische reactie zijn van een op zich gemotiveerde leerling die verwacht met een enkele reproductieve methode een lastig probleem te moeten oplossen. Vanuit de oplossingsgerichte houding van een leerling wordt vaak verwacht dat je met één bepaald gereedschap de klus moet kunnen klaren. Bij wat complexere opgaven zoals het werken met vergelijkingen kan die verwachting tot een blokkade bij een leerling leiden. Mogelijk kan het verwachtingspatroon van de leerling worden aangepast vanuit het idee dat het belangrijk is jezelf de tijd te gunnen om zelf een oplossing te bedenken. Dat leerlingen niet verwachten dat je altijd een instant oplossing kunt vinden, of het even niet weten wat te doen op te vatten als een blokkade, maar dat moment juist te ervaren en te herkennen als een belangrijke stap in een creatief proces waar je de tijd voor moet nemen. Deze stap kan voor leerlingen verbeeld worden door een bewegingsoefening: als je een probleem tegenkomt (complexe opgave), neem dan eerst een stap achteruit (sluit aan bij wat je al weet, maak een plan), en zet dan pas stappen vooruit (vind een oplossing). Het motto neem de tijd heeft betekenis voor zowel voor de korte termijn van het oplossen van een opgave in het werkgeheugen van de leerling, als voor de langere termijn van het gehele leerproces waarbij gewerkt wordt aan een samenhangend en betekenisrijk cognitief schema in het langetermijngeheugen van de leerling (van Streun, 2012). 5

6 Ontwerphypothese en ontwerpregels Ontwerphypothese: Als de leerlingen bij het oplossen van een opgave zich meer vragen stellen die gericht zijn op het ontwikkelen van een plan van aanpak zullen zij beter in staat zijn om hun wiskundige denkactiviteit gaande te houden en een oplossing te vinden. Het ontwerp moet voldoen aan de volgende regels: De lessenserie wordt ontwikkeld voor een 4-Havo klas Wiskunde B De lessen richten zich op het maken van een plan van aanpak bij een opgave van kwadratische- en hogeregraadsvergelijkingen De lessen zijn gericht op het oefenen van complexe opgaven waarbij meer aandacht gaat naar proces dan naar het resultaat De denkstappen van Polya (1945) worden in de lessen verwerkt De leerlingen begrijpen dat voor een lastige opgave denkstappen nodig zijn De leerlingen kunnen het probleem ook op een andere manier laten zien (in geschreven en/of getekende vorm) Evaluatieplan In de evaluatie richt ik mij zowel op de resultaten als op het leergedrag van de leerlingen. Aan het begin van de serie van vier wiskunde lessen zal door de leerlingen een toets gemaakt worden waarin enkele complexe vergelijkingen worden voorgelegd (voormeting). Een gelijksoortige toets sluit de vier lessen af (nameting). Met behulp van een inhoudsanalyse kunnen vervolgens zowel de aanpak als resultaten worden vergeleken. Aan het eind van de lessenserie zal bovendien door een learner-report worden nagegaan hoe de leerlingen de lessenserie hebben ervaren. De nadruk ligt hierbij op de toepassing van het stappenplan van Polya. Door middel van gerichte vragen zal ik onder andere inventariseren of de leerlingen beter begrijpen hoe ze de opgaven kunnen aanpakken en of ze daardoor meer zelfvertrouwen hebben ontwikkeld. Literatuur Ebbens, S. & Ettekoven, S. (2009). Effectief leren, basisboek. Groningen: Noordhoff Uitgevers F. Hoobroeckx & E. Haak (2002). Onderwijskundig ontwerpen. Houten: Bohn Stafleu van Loghum Kindt, M. (2003). Oefeningen in algebra. Utrecht: Freudenthal Instituut Marzano, R. & Miedema, W. (2005). Leren in 5 dimensies. Assen: Koninklijke van Gorkum Polya, G. (1945). How to solve it, a new aspect of mathematical method. Princeton, New Jersey: Princeton University Press Streun, A. van (2012) Leren en onderwijzen van wiskunde. In: Drijvers, P., van Streun, A. & Zwaneveld, B. (2012). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon Uitgaven 6

7 Tijdsplan Week Werkzaamheden Producten 38 Probleem beschrijven en analyseren Mogelijke oorzaken en oplossingen beschrijven en analyseren Tijdsplan opstellen 39 Onderzoekstechnieken bekijken en selecteren op geschiktheid voor onderzoek Feedback verwerken van peers Ontwerphypothese en ontwerpregels formuleren Onderzoeksplan opstellen Concept Paper 1 feedback peers Eigen feedback op papers van peers. 40 Onderzoeksinstrumenten Paper 1 maandag 30 sept 41 Lessenreeks ontwikkelen 42 Lessenreeks en evaluatieonderzoek ontwikkelen 43 Herfstvakantie Paper 1, 2 en 3 maandag 21 okt Uitvoeren lessenreeks 47 Uitvoeren lessenreeks 48 Resultaten analyseren 49 Verslag en poster maken 50 Ontwerpfestival 51 Afronding verslag 52 Kerstvakantie 1 Kerstvakantie 2 Paper 4 en 5 maandag 6 jan 3 4 7